Se connecter
S'inscrire
Fiches gratuites
Formules
Blog
Nouveau
🔥 Découvre nos fiches d'exercices gratuites avec corrections en vidéo !
Accéder aux fiches
→
Se connecter
← Retour au chapitre
Fonctions trigonométriques
Simplification d'expressions en cosinus et en sinus - Exercice 2
7 min
15
Question 1
Calculer, sans utiliser de calculatrice, les expressions suivantes :
C
=
sin
(
π
3
)
+
sin
(
2
π
3
)
+
sin
(
4
π
3
)
+
sin
(
5
π
3
)
C=\sin \left(\frac{\pi }{3} \right)+\sin \left(\frac{2\pi }{3} \right)+\sin \left(\frac{4\pi }{3} \right)+\sin \left(\frac{5\pi }{3} \right)
C
=
sin
(
3
π
)
+
sin
(
3
2
π
)
+
sin
(
3
4
π
)
+
sin
(
3
5
π
)
.
Correction
On remarque que :
sin
(
2
π
3
)
=
sin
(
π
−
π
3
)
\sin \left(\frac{2\pi }{3} \right)=\sin \left(\pi -\frac{\pi }{3} \right)
sin
(
3
2
π
)
=
sin
(
π
−
3
π
)
sin
(
4
π
3
)
=
sin
(
π
+
π
3
)
\sin \left(\frac{4\pi }{3} \right)=\sin \left(\pi +\frac{\pi }{3} \right)
sin
(
3
4
π
)
=
sin
(
π
+
3
π
)
sin
(
5
π
3
)
=
sin
(
2
π
−
π
3
)
\sin \left(\frac{5\pi }{3} \right)=\sin \left(2\pi -\frac{\pi }{3} \right)
sin
(
3
5
π
)
=
sin
(
2
π
−
3
π
)
Ainsi :
C
=
sin
(
π
3
)
+
sin
(
2
π
3
)
+
sin
(
4
π
3
)
+
sin
(
5
π
3
)
C=\sin \left(\frac{\pi }{3} \right)+\sin \left(\frac{2\pi }{3} \right)+\sin \left(\frac{4\pi }{3} \right)+\sin \left(\frac{5\pi }{3} \right)
C
=
sin
(
3
π
)
+
sin
(
3
2
π
)
+
sin
(
3
4
π
)
+
sin
(
3
5
π
)
équivaut successivement à :
C
=
sin
(
π
3
)
+
sin
(
π
−
π
3
)
+
sin
(
π
+
π
3
)
+
sin
(
2
π
−
π
3
)
C=\sin \left(\frac{\pi }{3} \right)+\sin \left(\pi -\frac{\pi }{3} \right)+\sin \left(\pi +\frac{\pi }{3} \right)+\sin \left(2\pi -\frac{\pi }{3} \right)
C
=
sin
(
3
π
)
+
sin
(
π
−
3
π
)
+
sin
(
π
+
3
π
)
+
sin
(
2
π
−
3
π
)
C
=
sin
(
π
3
)
+
sin
(
π
3
)
−
sin
(
π
3
)
+
sin
(
−
π
3
)
C=\sin \left(\frac{\pi }{3} \right)+\sin \left(\frac{\pi }{3} \right)-\sin \left(\frac{\pi }{3} \right)+\sin \left( -\frac{\pi }{3} \right)
C
=
sin
(
3
π
)
+
sin
(
3
π
)
−
sin
(
3
π
)
+
sin
(
−
3
π
)
C
=
sin
(
π
3
)
+
sin
(
π
3
)
−
sin
(
π
3
)
−
sin
(
π
3
)
C=\sin \left(\frac{\pi }{3} \right)+\sin \left(\frac{\pi }{3} \right)-\sin \left(\frac{\pi }{3} \right)-\sin \left( \frac{\pi }{3} \right)
C
=
sin
(
3
π
)
+
sin
(
3
π
)
−
sin
(
3
π
)
−
sin
(
3
π
)
Ainsi :
C
=
0
C=0
C
=
0