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Calculs de primitives - Exercice 3

5 min
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Question 1
Soit ff la fonction définie pour tout réel xx appartenant à l'intervalle [1;10]\left[1;10\right] par f(x)=2ln⁡(x)+2−3xf\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+2-\frac{3}{x} .

Montrer que la fonction FF définie sur [1;10]\left[1;10\right] par F(x)=(2x−3)ln⁡(x)F\left(x\right)=\left(2x-3\right)\ln \left(x\right) est une primitive de ff sur [1;10]\left[1;10\right].

Correction
Dans le cas où une primitive FF est donnée, il vous suffit de dériver FF et d'obtenir comme résultat ff.
Autrement dit, il faut que : F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)
Ici on reconnaît la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=2x−3u\left(x\right)=2x-3 et v(x)=ln⁡(x)v\left(x\right)=\ln \left(x\right).
Ainsi : u′(x)=2u'\left(x\right)=2 et v′(x)=1xv'\left(x\right)=\frac{1}{x} .
Il vient alors que :
F′(x)=2ln⁡(x)+(2x−3)×1xF'\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+\left(2x-3\right)\times \frac{1}{x}
F′(x)=2ln⁡(x)+2x×1x−3×1xF'\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+2x\times \frac{1}{x} -3\times \frac{1}{x}
F′(x)=2ln⁡(x)+2xx−3xF'\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+\frac{2x}{x} -\frac{3}{x}
F′(x)=2ln⁡(x)+2−3xF'\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+2-\frac{3}{x}
Ainsi :
F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)

On a bien montré que FF est une primitive de ff sur [1;10]\left[1;10\right].

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