Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 1

$$g$$ étant une fonction polynôme du second degré, il vient alors que : $$g\left(x\right)=ax^{2} +bx+c$$ où $$a$$ est un réel non nul et $$b$$ et $$c$$ deux réels.
La fonction $$g$$ est une solution de l'équation différentielle $$\left(E\right)$$ si et seulement si :
$$g'\left(x\right)=-3g\left(x\right)+6x^{2}-5x+12$$
$$\text{\blue{Premièrement :}}$$
Soit $$g\left(x\right)=ax^{2} +bx+c$$ et $$g$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ . Ainsi :
$$g'\left(x\right)=2ax+b$$
$$\text{\blue{Deuxièmement :}}$$
$$-3g\left(x\right)+6x^{2} -5x+12=-3\left(ax^{2} +bx+c\right)+6x^{2} -5x+12$$
$$-3g\left(x\right)+6x^{2} -5x+12=-3ax^{2} -3bx-3c+6x^{2} -5x+12$$
$$\text{\blue{Troisièmement :}}$$
Il faut que :
$$g'\left(x\right)=-3g\left(x\right)+6x^{2}-5x+12$$ équivaut successivement à :
$$2ax+b=-3ax^{2} -3bx-3c+6x^{2} -5x+12$$
$$2ax+b+3ax^{2} +3bx+3c-6x^{2} +5x-12=0$$
$$\red{2a}x\purple{+b}\pink{+3a}x^{2} \red{+3b}x+\purple{3c}\pink{-6}x^{2} \red{+5}x\purple{-12}=0$$ . Nous avons mis en couleur les coefficients devant les $$x^{2}$$ ; les coefficients devant les $$x$$ et les constantes.
$$\pink{\left(3a-6\right)}x^{2} +\red{\left(2a+3b+5\right)}x+\purple{\left(b+3c-12\right)}=0$$ .
Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. On obtient le système suivant :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {3a-6} & {=} & {0} \\ {2a+3b+5} & {=} & {0} \\ {b+3c-12} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {3a} & {=} & {6} \\ {2a+3b+5} & {=} & {0} \\ {b+3c-12} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {\frac{6}{3} } \\ {2a+3b+5} & {=} & {0} \\ {b+3c-12} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {2a+3b+5} & {=} & {0} \\ {b+3c-12} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {2\times 2+3b+5} & {=} & {0} \\ {b+3c-12} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {4+3b+5} & {=} & {0} \\ {b+3c-12} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {3b} & {=} & {-9} \\ {b+3c-12} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {\frac{-9}{3} } \\ {b+3c-12} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {-3} \\ {b+3c-12} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {-3} \\ {-3+3c-12} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {-3} \\ {3c-15} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {-3} \\ {3c} & {=} & {15} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {-3} \\ {c} & {=} & {\frac{15}{3} } \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {-3} \\ {c} & {=} & {5} \end{array}\right.$$
Il en résulte donc que la fonction polynôme $$g$$ du second degré solution particulière de l'équation différentielle $$\left(E\right)$$ s'écrit alors : $$g\left(x\right)=2x^{2}-3x+5$$ .

L'équation différentielle s'écrit : $$y'=\red{-3}y+\purple{6x^{2}-5x+12}$$ . On identifie ici que : $$\red{a=-3}$$ et $$\purple{f\left(x\right)=6x^{2}-5x+12}$$ .
D'après la question $$1$$, nous avons démontré que la fonction $$g$$ est $$\text{\red{une solution particulière}}$$ de l'équation différentielle $$\left(E\right)$$.
Il en résulte que les solutions de l'équation différentielle $$\left(E\right)$$ sont alors : $$m\left(x\right)=ke^{\red{-3}x}+g\left(x\right)$$ où $$k$$ est une constante réelle.
Finalement : où $$k$$ est une constante réelle.