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Concours Puissance Alpha 1 - Exercice 7

1 min
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Les satellites de Jupiter
Question 1
La planète Jupiter possède 6969 satellites naturels. Les premiers furent découverts en 16101610, lorsque Galilée observa les quatre grands satellites du système Jovien : Io, Europe, Ganymède et Callisto.
Ces satellites suivent la troisième loi de Kepler qui se traduit mathématiquement par : T2r3=4π2GMJ\frac{T^{2} }{r^{3} } =\frac{4\pi ^{2} }{GM_{J} } où TT est la période de révolution du satellite (en s), rr est le rayon de son orbite circulaire autour de Jupiter (en m) et MJM_{J} la masse de Jupiter (en kg).
La période de révolution de Ganymède sur son orbite est de TG=7,1T_{G}=7,1 jours terrestres soit environ 6×1056\times10^{5} s.
Données : π≈3\pi \approx 3 ; 1,43≈1\sqrt[{3}]{1,4} \approx 1 et 1,4≈1,2\sqrt{1,4} \approx 1,2
  • Masse de Jupiter : MJ=2×1027M_{J}=2\times 10^{27} kg
  • Constante de gravitation universelle G=7×10−11G=7\times 10^{-11} sisi

    • La masse de Ganymède étant inférieur à celle de Jupiter, la force exercée par Ganymède sur Jupiter est inférieure à celle qu'exerce Jupiter sur elle.

    Correction
    La proposition est FAUSSE.
    Les actions réciproques, de Ganymède et de Jupiter l'un sur l'autre vérifie la 33ème loi de Newton, et ces actions sont égales en norme.
    Question 2

    Plus le satellite est proche de Jupiter, plus sa période de révolution augmente.

    Correction
    La proposition est FAUSSE.
    Définition du cours :
  • La période de révolution d'un satellite augmente quand le rayon de l'orbite augmente. Il s'agit de la 33ème loi de KEPLER : T2r3=constante\frac{T^{2}}{r^{3}}=\text{constante}
    • Si rr augmente, alors TT doit augmenter pour garder l'égalité avec la constante et Si rr diminue, alors TT doit diminuer pour garder l'égalité avec la constante.
    Autrement dit, dans notre situation, plus le satellite est proche de Jupiter plus sa période de révolution diminue.
    Question 3

    Le rayon de l'orbite de Ganymède est d'environ 1×1061\times10^{6} km.

    Correction
    La proposition est VRAIE.
  • Données : π≈3\pi \approx 3 ; 1,43≈1\sqrt[{3}]{1,4} \approx 1 et 1,4≈1,2\sqrt{1,4} \approx 1,2
  • Masse de Jupiter : MJ=2×1027M_{J}=2\times 10^{27} kg
  • Constante de gravitation universelle G=7×10−11G=7\times 10^{-11} sisi
    • T2r3=4π2GMJ\frac{T^{2} }{r^{3} } =\frac{4\pi ^{2} }{GM_{J} } équivaut successivement à :
    T2×GMJ=4π2×r3T^{2} \times GM_{J} =4\pi ^{2} \times r^{3}
    r3=T2×GMJ4π2r^{3} =\frac{T^{2} \times GM_{J} }{4\pi ^{2} }
    r=T2×GMJ4π23r=\sqrt[{3}]{\frac{T^{2} \times GM_{J} }{4\pi ^{2} } }
    r=(6⋅105)2×7⋅10−11×2⋅10274π23r=\sqrt[{3}]{\frac{\left(6\cdot 10^{5} \right)^{2} \times 7\cdot 10^{-11} \times 2\cdot 10^{27} }{4\pi ^{2} } }
    r=36⋅1010×7⋅10−11×2⋅10274π23r=\sqrt[{3}]{\frac{36\cdot 10^{10} \times 7\cdot 10^{-11} \times 2\cdot 10^{27} }{4\pi ^{2} } }
    r=36×7×2×10264π23r=\sqrt[{3}]{\frac{36\times 7\times 2\times 10^{26} }{4\pi ^{2} } }
    r≈36×7×2×10264×93r\approx \sqrt[{3}]{\frac{36\times 7\times 2\times 10^{26} }{4\times 9} }
    r≈7×2×10263r\approx \sqrt[{3}]{7\times 2\times 10^{26} }
    r≈14×10263r\approx \sqrt[{3}]{14\times 10^{26} }
    r≈1,4×101×10263r\approx \sqrt[{3}]{1,4\times 10^{1} \times 10^{26} }
    r≈1,4×10273r\approx \sqrt[{3}]{1,4\times 10^{27} }
    r≈1,43×10273r\approx \sqrt[{3}]{1,4} \times \sqrt[{3}]{10^{27} }
    r≈1⋅109r\approx 1\cdot 10^{9} m
    r≈1⋅106r\approx 1\cdot 10^{6} km

    Question 4

    Un satellite évoluant sur une orbite dont le rayon est 44 fois plus grand que celui de ganymède, mettra 88 fois plus de temps que Ganymède pour effectuer un tour sur son orbite.

    Correction
    La proposition est VRAIE.
    Considérons la 33ème loi de KEPLER pour ganymède : (T1)2(r1)3=constante\frac{\left(T_{1}\right)^{2}}{\left(r_{1}\right)^{3}}=\text{constante}.
    Considérons un autre satellite qui évolue autour de Jupiter avec un rayon 44 fois plus grand, soit 4r14r_{1}. Il vient alors que :
    (T2)2(4r1)3=constante\frac{\left(T_{2}\right)^{2}}{\left(4r_{1}\right)^{3}}=\text{constante} . Il faut donc comparer T1T_{1} et T2T_{2}.
    Soit :
    (T1)2(r1)3=(T2)2(4r1)3\frac{\left(T_{1} \right)^{2} }{\left(r_{1} \right)^{3} } =\frac{\left(T_{2} \right)^{2} }{\left(4r_{1} \right)^{3} }
    (T1)2(r1)3=(T2)243×(r1)3\frac{\left(T_{1} \right)^{2} }{\left(r_{1} \right)^{3} } =\frac{\left(T_{2} \right)^{2} }{4^{3} \times \left(r_{1} \right)^{3} } . On simplifie par (r1)3\left(r_{1} \right)^{3} .
    (T1)2=(T2)264\left(T_{1} \right)^{2} =\frac{\left(T_{2} \right)^{2} }{64}
    64×(T1)2=(T2)264\times \left(T_{1} \right)^{2} =\left(T_{2} \right)^{2}
    82×(T1)2=(T2)28^{2} \times \left(T_{1} \right)^{2} =\left(T_{2} \right)^{2}
    8×T1=T28\times T_{1} =T_{2}