La bonne réponse est b.
Tout d'abord, la durée du parcours entre A et C est la somme des durées entre $A$ et $B$ puis $B$ et $C$.
Vous devez faire très attention à ce niveau, le mouvement entre les points $A$ et $B$ et différent du mouvement entre $B$ et $C$.
En effet :

Entre $A$ et $B$ : le mouvement est uniformément accéléré.

Entre $B$ et $C$ : le mouvement est rectiligne uniforme.

Ceci a un impact direct sur les calculs.
Durant le parcours entre A et B :
Sur ce parcours $AB$, l'accélération est une constante dans le temps.
Le mouvement est dit uniformément accéléré.
On a alors :
$v(t)=a \cdot t+ V_0$ avec la vitesse initiale $V_0=0$ .
Or au point $B$, vous avons $v(t)=V_B$ et $t=\tau_{AB} $.
Ce qui nous donne : $V_B= a \cdot \tau_{AB}$
Donc le temps mis par la particule pour parcourir le chemin de $A$ à $B$ :
$\tau_{AB} = \frac{V_B}{a} $
Nous avons vu à la question $4$ que $ a=\frac{V^2_B}{2D}$ et comme $\tau_{AB} = \frac{V_B}{a} $ alors :
$ \tau_{AB}=V_B \frac{2D}{V_B^2}$
Après simplification :
$\tau_{AB}=\frac{2D}{V_B}$
Or toujours d'après la question $4$ , nous savons que $V_B=\sqrt{\frac{2 \cdot e \cdot U_{AB}}{m}} $
Ainsi : $\tau_{AB}=\frac{2D}{\sqrt{\frac{2eU_{AB}}{m}}}$
Après simplification, la durée de parcours entre les points $A$ et $B$ notée $\tau_{AB}$ est : $\tau_{AB}=D \sqrt{\frac{2m}{e \cdot U_{AB}}}$
Durant le parcours entre B et C :
Sur ce parcours $BC$, la vitesse est une constante dans le temps (i.e: $v(t_{BC})=V_B=V_C=cste$).
Le mouvement est dit uniforme.
Nous avons alors par définition :
$V_C=\frac{L}{\tau_{BC}}=V_B=cste$
Donc :
$\tau_{BC}=\frac{L}{V_B}$
Or toujours d'après la question $4$, nous savons que $V_B=\sqrt{\frac{2 \cdot e \cdot U_{AB}}{m}} $, ce qui nous permet d'écrire que :
$ \tau_{BC}=L \sqrt{\frac{m}{2\cdot U_{AB}\cdot e}}$
Au final, $\tau=\tau_{AB}+ \tau_{BC}$ donc :

$\tau= D \sqrt{\frac{2m}{e \cdot U_{AB}}} + L \sqrt{\frac{m}{2U_{AB}\cdot e}}$

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Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4