La bonne réponse est b.

Définition du cours :

L'équation de la trajectoire avec une vitesse initiale $\vec{V_{0}}$ faisant un angle $\alpha$ avec l'horizontale est : $y\left(x\right)=-\frac{1}{2} g\frac{x^{2} }{\left(V_{0} \cos \left(\alpha \right)\right)^{2} } +\tan \left(\alpha \right)x$

Commençons par simplifier l'expression de $y\left(x\right)$.
Il vient alors que :
$y\left(x\right)=-\frac{1}{2} g\frac{x^{2} }{\left(V_{0} \cos \left(\alpha \right)\right)^{2} } +\tan \left(\alpha \right)x$
$y\left(x\right)=-\frac{1}{2} g\frac{x^{2} }{\left(V_{0} \cos \left(\alpha \right)\right)^{2} } +\frac{\sin \left(\alpha \right)}{\cos \left(\alpha \right)} x$
$y\left(x\right)=-\frac{1}{2} g\frac{x^{2} }{\left(V_{0} \right)^{2} \times \left(\cos \left(\alpha \right)\right)^{2} } +\frac{\sin \left(\alpha \right)}{\cos \left(\alpha \right)} x$ . On factorise par $\frac{x}{\cos \left(\alpha \right)}$
$y\left(x\right)=\frac{x}{\cos \left(\alpha \right)} \left(-\frac{1}{2} g\frac{x}{\left(V_{0} \right)^{2} \times \left(\cos \left(\alpha \right)\right)^{2} } +\sin \left(\alpha \right)\right)$
La portée du tir a lieu pour $y\left(x\right)=0$ . D'où :
$\frac{x}{\cos \left(\alpha \right)} \left(-\frac{1}{2} g\frac{x}{\left(V_{0} \right)^{2} \times \left(\cos \left(\alpha \right)\right)^{2} } +\sin \left(\alpha \right)\right)=0$ . Il s'agit d'une équation produit nul :
$\frac{x}{\cos \left(\alpha \right)} =0$ ou $-\frac{1}{2} g\frac{x}{\left(V_{0} \right)^{2} \times \cos \left(\alpha \right)} +\sin \left(\alpha \right)=0$.
Pour l'équation : $-\frac{1}{2} g\frac{x}{\left(V_{0} \right)^{2} \times \cos \left(\alpha \right)} +\sin \left(\alpha \right)=0$
il vient que :
$\frac{1}{2} g\frac{x}{\left(V_{0} \right)^{2} \times \cos \left(\alpha \right)} =\sin \left(\alpha \right)$
$\frac{1}{2} g\times x=\sin \left(\alpha \right)\times \left(V_{0} \right)^{2} \times \cos \left(\alpha \right)$
$x=\frac{2\sin \left(\alpha \right)\times \left(V_{0} \right)^{2} \times \cos \left(\alpha \right)}{g}$

$2\sin \left(\alpha \right)\cos \left(\alpha \right)=\sin \left(2\alpha \right)$

Ainsi :
$x=\frac{ \left(V_{0} \right)^{2} \times \sin \left(2\alpha \right)}{g}$
La portée $x_{P}$ est alors $x_{P}=\frac{ \left(V_{0} \right)^{2} \times \sin \left(2\alpha \right)}{g}$
Et $x_{P}$ est plus grande pour $\sin \left(2\alpha \right)=1$ donc pour $2\alpha =\frac{\pi}{2}$ soit $\alpha=+45^{\circ }$

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