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Savoir repérer et utiliser une racine évidente - Exercice 1

10 min
20
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=x2−6x+5f\left(x\right)=x^{2}-6x+5 .
Question 1

Vérifier que 11 est une racine de ff.

Correction
11 est une racine de ff si et seulement si f(1)=0f\left(1\right)=0. Il vient que :
f(1)=12−6×1+5f\left(1\right)=1^{2}-6\times1+5
f(1)=1−6+5f\left(1\right)=1-6+5
f(1)=0f\left(1\right)=0

Il en résulte donc que 11 est bien une racine de ff.
Question 2

En déduire la seconde racine de ff.

Correction
Si l'équation ax2+bx+c=0{\color{blue}a}x^{2}+{\color{red}b}x+{\color{purple}c}=0 admet deux racines x1x_{1} et x2x_{2} alors :
  • la somme des racines est égale à −ba-\frac{{\color{red}b}}{{\color{blue}a}} autrement dit x1+x2=−bax_{1}+x_{2}=-\frac{{\color{red}b}}{{\color{blue}a}}
  • le produit des racines est égale à ca\frac{{\color{purple}c}}{{\color{blue}a}} autrement dit x1×x2=cax_{1}\times x_{2}=\frac{{\color{purple}c}}{{\color{blue}a}}
    • Soit f(x)=x2−6x+5f\left(x\right)=x^{2}-6x+5 . Nous avons donc a=1a=1 ; b=−6b=-6 et c=5c=5 . D'après la question précédente, nous savons que 11 est une racine de ff . Notons alors x1x_1 cette racine.
    Nous savons que la somme des racines est égale à −ba-\frac{b}{a} autrement dit x1+x2=−bax_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}. Il s'ensuit que :
    1+x2=−−611+x_{2}=-\frac{-6}{1}
    1+x2=61+x_{2}=6
    x2=6−1x_{2}=6-1
    x2=5x_{2}=5

    Les racines de ff sont alors x1=1x_1=1 et x2=5x_{2}=5