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Géométrie du triangle : Inégalité triangulaire

Exercices types - Exercice 2

6 min
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Question 1

Dans le cas ci-dessous, les points AA, BB, et CC sont-ils alignés ? Justifier.
AB=9,2AB=9,2 cm, BC=11,5BC=11,5 cm, et AC=20,7AC=20,7 cm.

Correction
  • Dans la construction d'un triangle, si le plus grand des 33 côtés est égale à la somme des longueurs des deux autres côtés, alors les 33 points sont alignés.
On a : AB=9,2AB=9,2 cm, BC=11,5BC=11,5 cm, et AC=20,7AC=20,7 cm.
1°)1°) Dans un premier temps, on détermine quel est le plus grand segment :
Ici le plus grand segment est AC=20,7AC=20,7 cm.
2°)2°) Dans un second temps, on calcul la somme des deux autres segments ( les 2 plus petits) :
AB+BC=9,2+11,5=20,7AB+BC=9,2+11,5=20,7 cm
3°)3°) Enfin on compare le plus grand côté à la somme des deux autres côtés :
Ici AC=BA+AC  AC=BA+AC\; ⇒  \color{red}\Rightarrow\; Ici le plus grand côté est égal à la somme des deux autres côtés.
On peut donc conclure que les points A\color{blue}A, B\color{blue}B, et C\color{blue}C sont alignés.
Question 2

Dans le cas ci-dessous, les points II, JJ, et KK sont-ils alignés ? Justifier.
IJ=3,8IJ=3,8 dm, IK=4,4IK=4,4 dm, et JK=7,2JK=7,2 dm.

Correction
  • Dans la construction d'un triangle, si le plus grand des 33 côtés est égale à la somme des longueurs des deux autres côtés, alors les 33 points sont alignés.
On a : IJ=3,8IJ=3,8 dm, IK=4,4IK=4,4 dm, et JK=7,2JK=7,2 dm.
1°)1°) Dans un premier temps, on détermine quel est le plus grand segment :
Ici le plus grand segment est JK=7,2JK=7,2 dm.
2°)2°) Dans un second temps, on calcul la somme des deux autres segments ( les 2 plus petits) :
IJ+IK=3,8+4,4=8,2IJ+IK=3,8+4,4=8,2 dm
3°)3°) Enfin on compare le plus grand côté à la somme des deux autres côtés :
Ici JK≠IJ+IK  JK\neq IJ+IK\; ⇒  \color{red}\Rightarrow\; Ici le plus grand côté n'est pas égal à la somme des deux autres côtés.
On peut donc conclure que les points I\color{blue}I, J\color{blue}J, et K\color{blue}K ne sont pas alignés.
Question 3

Dans le cas ci-dessous, les points UU, VV, et WW sont-ils alignés ? Justifier.
UV=27UV=27 mm, UW=11,9UW=11,9 mm, et VW=17,1VW=17,1 mm.

Correction
  • Dans la construction d'un triangle, si le plus grand des 33 côtés est égale à la somme des longueurs des deux autres côtés, alors les 33 points sont alignés.
On a : UV=27UV=27 mm, UW=11,9UW=11,9 mm, et VW=17,1VW=17,1 mm.
1°)1°) Dans un premier temps, on détermine quel est le plus grand segment :
Ici le plus grand segment est UV=27UV=27 mm.
2°)2°) Dans un second temps, on calcul la somme des deux autres segments (les 2 plus petits) :
UW+VW=11,9+17,1=29UW+VW=11,9+17,1=29 mm
3°)3°) Enfin, on compare le plus grand côté à la somme des deux autres côtés :
Ici UV≠UW+VW  UV\ne UW+VW\; ⇒  \color{red}\Rightarrow\; Ici le plus grand côté n'est pas égal à la somme des deux autres côtés.
On peut donc conclure que les points U\color{blue}U, V\color{blue}V, et W\color{blue}W ne sont pas alignés.
Question 4

Dans le cas ci-dessous, les points GG, HH, et II sont-ils alignés ? Justifier.
GH=9,5GH=9,5 cm, HI=17,2HI=17,2 cm, et IG=7,7IG=7,7 cm.

Correction
  • Dans la construction d'un triangle, si le plus grand des 33 côtés est égale à la somme des longueurs des deux autres côtés, alors les 33 points sont alignés.
On a : GH=9,5GH=9,5 cm, HI=17,2HI=17,2 cm, et IG=7,7IG=7,7 cm.
1°)1°) Dans un premier temps, on détermine quel est le plus grand segment :
Ici le plus grand segment est HI=17,2HI=17,2 cm.
2°)2°) Dans un second temps, on calcul la somme des deux autres segments (les 2 plus petits) :
GH+IG=9,5+7,7=17,2GH+IG=9,5+7,7=17,2 cm
3°)3°) Enfin, on compare le plus grand côté à la somme des deux autres côtés :
Ici HI=GH+IG  HI=GH+IG\; ⇒  \color{red}\Rightarrow\; Ici le plus grand côté est égal à la somme des deux autres côtés.
On peut donc conclure que les points G\color{blue}G, H\color{blue}H, et I\color{blue}I sont alignés.