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Sujet 2 - Exercice 1

20 min
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La construction du Centre Aquatique Olympique de Saint-Denis a débuté en 20212021 pour accueillir les épreuves de natation artistique des jeux Olympiques de Paris 2024.2024.
Alyssa et Jules visitent le Centre Aquatique Olympique et s’installent dans les gradins.
On a schématisé leurs positions par rapport à la piscine olympique sur la figure ci-dessous, qui modélise la situation :
Alyssa est installée dans les gradins Nord au point AA et Jules est assis dans les gradins Sud au point J.J.
La figure n’est pas à l’échelle.

On donne : AC=FJ=15  mAC = FJ = 15\;m ; BC=27  m  ;BC = 27\;m\;; FH=7  m  ;FH = 7\;m\;; EF=18  m.EF = 18\;m.
Les points F,  J F,\;J et DD sont alignés.
Les points F,  H,F,\;H, et EE sont alignés.
Les points C,  B,  DC,\;B,\;D et EE sont alignés.
Question 1
Jules et Alyssa discutent entre eux pour savoir qui est le mieux placé pour assister à l’événement.

Calculer la distance entre Alyssa et le bord de la piscine, c’est-à-dire calculer la longueur AB.AB.
Arrondir le résultat au mètre près.

Correction
Comme le triangle ABCABC est rectangle en CC avec AC=15AC = 15 m et BC=27BC = 27 m.

On peut appliquer le théorème de Pythagore :

AB2=AC2+BC2AB^{2} =AC^{2} +BC^{2}

donc :
AB2=152+272AB^{2} =15^{2} +27^{2}
AB2=225+729AB^{2} =225+729
AB2=954AB^{2} =954

Nous allons utiliser la racine carrée pour déterminer la mesure de ABAB.

D'où :
AB=954AB=\sqrt{954}

Ainsi :
AB≈30,9AB\approx30,9 m

La mesure de ABAB est donc de 3131 m. (( Résultat arrondi au mètre près)).
Question 2

Vérifier que la distance entre Jules et le bord de la piscine, c’est-à-dire la longueur JD,JD, est de 24  m,24\;m, arrondie au mètre près.

Correction
D’après la figure, les droites (JH)(JH) et (DE)(DE) sont toutes deux perpendiculaires à la même droite (EF)(EF).
  • Or si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles.
On peut donc déduire que les droites (JH)(JH) et (DE)(DE) sont parallèles.
  • Les points FF, JJ et DD sont alignés dans le même ordre que les points FF, HH et EE.
  • Les droites (JH)\left(JH\right) et (DE)\left(DE\right) sont parallèles.
    • D'après le théorème de Thalès, on a :
    FJFD=FHFE=JHDE\frac{FJ}{FD} =\frac{FH}{FE} =\frac{JH}{DE}. Nous allons remplacer par les mesures. Ainsi :
    15FD=718=JHDE\frac{15}{FD} =\frac{7}{18} =\frac{JH}{DE}
    À partir de 15FD=718\frac{15}{FD} =\frac{7}{18} on effectue un produit en croix. Cela nous donne :
    FD=15×187FD=\frac{15\times 18}{7}
    FD≈38,57FD\approx38,57 m

    Or JD=FD−FJJD=FD-FJ
    JD=38,57−15JD=38,57-15
    JD=23,57JD=23,57 m
    On peut donc conclure que la distance entre Jules et le bord de la piscine est de 2424 m, arrondi au mètre près.
    Question 3

    Pour respecter les normes de sécurité, l’angle d’inclinaison ABCABC des gradins Nord ne doit pas dépasser 35°.35°. Les gradins Nord respectent-ils cette norme ??

    Correction
    Le triangle ABCABC est rectangle en CC. Nous connaissons :
  • Le côté opposé à l'angle B^\widehat{B} dont la mesure est AC=15AC=15 m.
  • Le côté adjacent à l'angle B^\widehat{B} dont la mesure est BC=27BC=27 m.
  • Nous recherchons l'angle B^\widehat{B}.
    • Nous allons donc utiliser la tangente{\color{blue}\text{tangente}}.
    tan⁡(ABC^)=coteˊ opposeˊ aˋ l’angle B^coteˊ adjacent aˋ l’angle B^\tan\left(\widehat{ABC}\right)=\frac{\text{coté opposé à l'angle }\widehat{B}}{\text{coté adjacent à l'angle }\widehat{B}}
    tan⁡(ABC^)=ACBC\tan\left(\widehat{ABC}\right)=\frac{AC}{BC}
    tan⁡(ABC^)=1527\tan\left(\widehat{ABC}\right)=\frac{15}{27}
    ABC^=tan⁡−1(1527)\widehat{ABC}=\tan^{-1}\left(\frac{15}{27}\right) ou encore ABC^=arctan(1527)\widehat{ABC}=\text{arctan}\left(\frac{15}{27}\right)
    • Il faut vérifier que votre calculatrice est bien en mode degré, et n'oubliez pas de mettre les parenthèses.
    Ainsi :
    ABC^≈29,1∘\widehat{ABC}\approx29,1{}^\circ

    Or 29,1°<35°29,1\degree<35\degree, on peut donc en déduire que les gradins Nord respectent bien la norme.