Exercices types : 2ème partie - Exercice 3

Dans le triangle $$ABC$$ rectangle en $$A$$, on a :
$$\widehat{BAC}=x$$ et $$\widehat{ACB}=90\degree.$$
On a donc : $$\widehat{ABC}=180-\left(\widehat{BAC}+\widehat{ACB}\right)$$
$$\widehat{ABC}=180-(x+90)$$
$$\widehat{ABC}=180-x-90$$
$$\color{blue}\boxed{\widehat{ABC}=90-x}$$

En observant la figure, on a :
$$\widehat{DAC}=\widehat{DAB}-\widehat{BAC}$$
$$\boxed{\widehat{DAC}=90-x}$$
On a donc : $$\widehat{ADC}=180-\left(\widehat{DCA}+\widehat{DAC}\right)$$
$$\widehat{ADC}=180-(90+90-x)$$
$$\widehat{ADC}=180-9-90+x$$
$$\color{blue}\boxed{\widehat{ADC}=x}$$

Des questions précédentes, on a :
$$\widehat{ADC}=x$$ et $$\widehat{ABC}=x$$
On peut donc déjà en déduire que les deux triangles ont une paire d'angles de même mesure.
Dans un second temps, on sait que les triangles $$ABC$$ et $$ACD$$ sont rectangles, par conséquent :
Dans le triangle $$ABC$$ on a : $$\widehat{ACB}=90{}^\circ$$.
Dans le triangle $$ACD$$ on a : $$\widehat{BAD}=90{}^\circ$$. On a donc :
$$\widehat{ACB}=\widehat{BAD}$$
On peut donc conclure que les triangles $$ABC$$ et $$ACD$$ ont deux paires d'angles de la même mesure, ils sont donc semblables.

De la propriété ci-dessus, on obtient l'égalité suivante : $$\color{blue}\boxed{\frac{CB}{AC}=\frac{AC}{CD}=\frac{BA}{AD}}$$
En utilisant le produit en croix, on obtient : $$AC\times{AC}=CB\times{CD}$$, on a donc :
$$\color{blue}\boxed{AC^2=CB\times{CD}}$$

À la question précédente, on a déterminé l'égalité suivante :
$$AC^2=CB\times{CD}=4\times9$$
$$AC^2=36$$
$$AC=\sqrt{36}$$
$$\color{blue}\boxed{AC=6\;cm}$$
On peut donc conclure que $$AC$$ mesure $$6$$ cm.