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Théorème de Thalès et sa réciproque

Sujet 2 - Exercice 1

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Question 1
Dans cet exercice, on considère la figure codée ci-dessous :

—— Les points A,A, CC et EE sont alignés.
—— Les points B,B, CC et DD sont alignés.
—— AB=240  mm.AB = 240\;mm.
—— CE=80  mm.CE = 80\;mm.

Partie A
Montrer que le triangle ABCABC est équilatéral.

Correction
Dans le triangle ABCABC on sait d'après le codage que BAC^=ABC^=60°\widehat{BAC}=\widehat{ABC}=60\degree
  • Dans un triangle, la somme des trois angles est égale à 180°.\color{red}180\degree.
ACB^=180−60−60=60°\widehat{ACB}=180-60-60=60\degree
Les trois angles du triangle ABCABC mesurent 60°60\degree, on peut donc conclure que le triangle ABCABC est équilatéral.
Question 2

Montrer que les droites (DE)(DE) et (AB)(AB) sont parallèles.

Correction
  • Les droites (AE)(AE) et (BD)(BD) sont sécantes en CC.
  • Les points AA, CC, EE sont alignés dans le même ordre que BB, CC et DD.
    • Calculons d'une part :
    CACE=24080\frac{CA}{CE} =\frac{240}{80}
    CACE=3\frac{CA}{CE} =3

    Calculons d'autre part :
    CBCD=24080\frac{CB}{CD} =\frac{240}{80}
    CBCD=3\frac{CB}{CD} =3

    On constate ici, que : CACE=CBCD\frac{CA}{CE}=\frac{CB}{CD}.
    Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès les droites (DE)\left(DE\right) et (AB)\left(AB\right) sont parallèles.
    Question 3
    Partie B
    On donne le programme suivant qui permet de tracer la figure précédente.
    Ce programme comporte une variable nommée « côté ».
    Les longueurs sont données en pas : 11 pas représente 1  mm.1\;mm.
    On rappelle que l’instruction s’orienter  aˋ  90°\color{blue}s’orienter\;à\;90\degree signifie que le lutin se dirige horizontalement vers la droite.

    Quelles sont les coordonnées du point de départ du lutin ? Aucune justification n’est demandée.

    Correction
    Comme on peut le constater au début du programme, les coordonnées de départ sont : (−180  ;  −150)(-180\;;\;-150).
    Question 4

    Quelle valeur doit être saisie à la ligne 44 dans le programme ? Aucune justification n’est demandée.

    Correction
    Au départ, le lutin va commencer à tracer le triangle équilatéral ABCABC.
    Donc au départ, il devra commencer à tracer le côté de ce triangle, , c'est-à-dire 240240.
    Question 5

    Le lutin démarre à la case D8. Dans quelle case se trouve-t-il lorsqu’il vient d’exécuter la ligne 77 du programme ?? Aucune justification n’est demandée.

    Correction
    Après l’exécution de la ligne 77, le lutin se trouve au point de coordonnées (G3)(G3).
    Question 6

    Expliquer l’instruction « côté /3/3 » de la ligne 88 du programme pour le tracé de la figure

    Correction
    On sait que le triangle DECDEC est un triangle équilatéral qui a pour longueur 80  mm80\;mm de côté, c'est-à-dire un côté trois fois plus petit que le triangle équilatéral ABCABC.
    En effet : co^teˊ3=2403=80  mm \frac{côté}{3}=\frac{240}{3}=80\;mm qui est longueur du petit triangle.