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Fiche de cours sur la réciproque du théorème de Pythagore

LA RECIPROQUE DU THEOREME DE PYTHAGORE

Définition 1

$\footnotesize \text{Si dans un triangle, {\color{red}\underline{le carré du plus grand côté}} {\color{black}est égal à la somme des carrés des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle.}}$
$\footnotesize \text{(Ici on vérifie que l'égalité de Pythagore fonctionne).}$
$\footnotesize \text{Dans le cas où l’égalité de Pythagore n’est pas réalisée alors on pourra conclure que le triangle n’est pas rectangle.}$
$\footnotesize \text{\color{blue}\underline{Important} : Pour appliquer la réciproque de Pythagore, on raisonnera de la manière suivante :}$ .
$\footnotesize \text{En premier lieu, on précise toujours {\underline{dans quel triangle on travail.}}}$
$\footnotesize \text{Ensuite on identifie {\underline{le plus grand côté du triangle}}, et on calcul son carré.}$
$\footnotesize \text{Après on calcul le carré des deux autres côtés, et on les additionne.}$
$\footnotesize \text{Et pour finir on conclut : }$
$\footnotesize \text{Si les résultats sont égaux d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle est rectangle, dans le cas contraire, il ne l'est pas .}$

\pink{\text{Exemple :}}

\footnotesize \text{On considère un triangle DEF avec DE = 10 cm, DF = 8 cm et EF= 6 cm. Démontrer que le triangle DEF est rectangle en F.}

\color{black}\footnotesize\underline{\text{Dans le cas de la réciproque du théorème de Pythagore, il n'est pas nécessaire d'effectuer un croquis.}}

\footnotesize\text{\color{blue}\underline{1°) Dans un premier temps, on indique dans quel triangle on travail, et quel est le plus grand côté.}}

\footnotesize \text{Dans le triangle DEF, le plus grand côté est DE=10 cm.}

\footnotesize\text{\color{blue}\underline{2°) On calcul le carré du plus grand côté.}}

\footnotesize{DE^2=10^2=100}

\footnotesize\text{\color{blue}\underline{3°) On calcul le carré des 2 autres côtés, et on les additionne.}}

\footnotesize{DF^2=8^2=64}

\footnotesize{EF^2=6^2=36}.

\footnotesize{DF^2+EF^2}=64+36=100

\footnotesize\text{\color{blue}\underline{4°) On conclut.}}

\footnotesize\text{ Ici on constate que }

\footnotesize{\color{red}DE^2=DF^2+EF^2}

\footnotesize\text{ Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle DEF est rectangle en F.}

\pink{\text{Exemple :}}

\footnotesize \text{On considère un triangle IJK avec IJ = 11 cm, JK = 5 cm et IK= 9 cm. Le triangle IJK est-il rectangle ?}

\color{black}\footnotesize\underline{\text{Dans le cas de la réciproque du théorème de Pythagore, il n'est pas nécessaire d'effectuer un croquis.}}

\footnotesize\text{\color{blue}\underline{1°) Dans un premier temps, on indique dans quel triangle on travail, et quel est le plus grand côté.}}

\footnotesize \text{Dans le triangle IJK, le plus grand côté est IJ=11 cm.}

\footnotesize\text{\color{blue}\underline{2°) On calcul le carré du plus grand côté.}}

\footnotesize{IJ^2=11^2=121}

\footnotesize\text{\color{blue}\underline{3°) On calcul le carré des 2 autres côtés, et on les additionne.}}

\footnotesize{JK^2=5^2=25}

\footnotesize{IK^2=9^2=81}.

\footnotesize{JK^2+IK^2}=25+81=106

\footnotesize\text{\color{blue}\underline{4°) On conclut.}}

\footnotesize\text{ Ici on constate que }

\footnotesize{\color{red}IJ^2\ne JK^2+IK^2}.

\footnotesize\text{ L'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée, donc le triangle IJK n'est pas rectangle.}

\footnotesize\text{On pourrait également dire d'après la contraposée du théorème de pythagore le triangle IJK n'est pas rectangle.}