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Sujet 2 - Exercice 1

20 min
35
On dispose de deux boîtes contenant des boules numérotées, indiscernables au toucher.
Question 1
La première boîte contient trois boules numérotées 2,2, 33 et 5.5.
La deuxième boîte contient deux boules numérotées 33 et 5.5.

On tire au hasard une boule dans la première boîte puis une boule dans la deuxième boîte.
On s’intéresse au produit des nombres inscrits sur ces deux boules.
Par exemple, si on tire la boule numérotée 22 dans la première boîte puis la boule numérotée 55 dans la deuxième boîte, on obtient comme résultat : 2×5=10.2\times 5 = 10.

Compléter le tableau ci-dessous à double entrée afin de faire apparaître tous les résultats possibles de cette expérience.

Correction
Question 2

Quelle est la probabilité d’obtenir 1515 comme résultat ??

Correction
  • La probabilité d'un évènement A, est notée P(A) et cette probabilité est définie par le quotient suivant :
    P(A)=nombre  de  cas  favorables    aˋ  Anombre de  cas  possibles\color{red}P(A)=\frac{\small\text{nombre\;de\;cas\;favorables\;\;à\;A}}{\small\text{nombre\,de\;cas\;possibles}}
Dans le tableau de la question 1,1, on constate que le 1515 apparaît 22 fois sur un total de 66 cases.
On peut donc conclure, que la probabilité d'avoir le 1515 est de : 26=13\color{blue}\boxed{\frac{2}{6}=\frac{1}{3}}.
Question 3

L’affirmation suivante est-elle vraie ??
Affirmation : Il y a 22 chances sur 33 d’obtenir un multiple de 3.3.

Correction
  • La probabilité d'un évènement A, est notée P(A) et cette probabilité est définie par le quotient suivant :
    P(A)=nombre  de  cas  favorables    aˋ  Anombre de  cas  possibles\color{red}P(A)=\frac{\small\text{nombre\;de\;cas\;favorables\;\;à\;A}}{\small\text{nombre\,de\;cas\;possibles}}
Dans le tableau de la question 1,1, on constate qu'un multiple de33 apparaît 44 fois sur un total de 66 cases.
En effet, un multiple de 33, signifie dans la table de 33.
On peut donc conclure, que la probabilité d'obtenir un multiple de 33 est de : 46=23\color{blue}\boxed{\frac{4}{6}=\frac{2}{3}}.
L'affirmation est donc vraie.
Question 4
On ajoute une troisième boîte contenant deux boules numérotées avec des nombres entiers.
On tire au hasard une boule dans la première boîte, puis une boule dans la deuxième boîte, puis une boule dans la troisième boîte.
On multiplie les nombres inscrits sur ces boules et on s’intéresse au produit de ces trois nombres. Anissa a obtenu comme résultat 165165 et Bilel a obtenu 78.78.

Quels sont les nombres inscrits sur les boules de la troisième boîte ??

Correction
Dans un premier temps, on peut décomposer en facteurs de nombres premiers les nombres 165165 et 7878.
Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement 2 diviseurs distincts entiers et positifs.
  • Ces deux diviseurs sont 1 \color{red}1 et le nombre lui-même.
    • Il est important de connaître les premiers nombres premiers : (2  ;  3  ;  5  ;  7  ;11  ;13  ;17  ;  19  ;  23).\color{red}(2\;;\;3\;;\;5\;;\;7\;;11\;;13\;;17\;;\;19\;;\;23).
    1°) On décompose en facteurs de nombres premiers 165 :
    On cherche les diviseurs de 165165 dans l'ordre croissant :
    165165 est divisible par 33 ainsi : 165=3×55165={\color{red}3}\times 55
    5555 est divisible par 55 ainsi : 165=3×5×11165={\color{red}3}\times{\color{blue}5}\times11
    1111 est un nombre premier, donc la décomposition de 165165 en produits de facteurs premiers est alors :
    165=3×5×11165={\color{red}3}\times {\color{blue}5} \times 11
    33 et 55 sont déjà présents dans les deux premières boîtes, il y aura donc le 11 dans la troisième boîte.
    2°) On décompose en facteurs de nombres premiers 78 :
    On cherche les diviseurs de 7878 dans l'ordre croissant :
    7878 est divisible par 22 ainsi : 78=2×3978={\color{red}2}\times 39
    3939 est divisible par 33 ainsi : 78=2×3×1378={\color{red}2}\times{\color{blue}3}\times13
    1313 est un nombre premier, donc la décomposition de 7878 en produits de facteurs premiers est alors :
    78=2×3×1378={\color{red}2}\times {\color{blue}3} \times 13
    22 et 33 sont déjà présents dans les deux premières boîtes, il y aura donc le 13 dans la troisième boîte.
    On peut donc conclure, que dans la troisième boîte, on aura une boule avec le nombre 11\color{blue}11 et une boule avec le nombre 13\color{blue}13.