Savoir calculer une image ou un antécédent avec une fonction linéaire - Exercice 5

On cherche l'antécédent de $$2$$.
C'est-à-dire $$x$$ tel que $$f(x)=2.$$ On a donc :
$$\frac{1}{3}x=2$$
$$x=2:\frac{1}{3}$$ On divise chaque membre par le nombre devant le $$x$$ qui ici vaut $${\color{blue}\frac{1}{3}}$$.
$$x=2\times\frac{3}{1}$$
$$x=6$$
On en déduit donc que $$6$$ est l'antécédent de $$2$$ par la fonction $$f.$$

On cherche l'antécédent de $$-1$$.
C'est-à-dire $$x$$ tel que $$f(x)=-1.$$ On a donc :
$$\frac{1}{3}x=-1$$
$$x=-1:\frac{1}{3}$$ On divise chaque membre par le nombre devant le $$x$$ qui ici vaut $${\color{blue}\frac{1}{3}}$$.
$$x=-1\times\frac{3}{1}$$
$$x=-3$$
On en déduit donc que $$-3$$ est l'antécédent de $$-1$$ par la fonction $$f.$$

Pour déterminer l'image de $$-2$$ par $$f$$, il nous suffit de remplacer $$x$$ par $$-2$$.
Il vient alors que :
$$f\left(-2\right)=\frac{1}{3}\times( -2)$$
$$f\left(-2\right)=-\frac{2}{3}$$
L'image de $$-2$$ par $$f$$ vaut $$-\frac{2}{3}$$ .

Pour déterminer l'image de $$\frac{3}{4}$$ par $$f$$, il nous suffit de remplacer $$x$$ par $$\frac{3}{4}$$.
Il vient alors que :
$$f\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{1}{3}\times\frac{3}{4}$$
$$f\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{1\times3}{3\times4}$$
$$f\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{1\times\color{red}\cancel3}{{\color{red}\cancel3}\times4}$$
$$f\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{1}{4}$$
L'image de $$\frac{3}{4}$$ par $$f$$ vaut $$\frac{1}{4}$$ .