Savoir calculer un antécédent avec une fonction linéaire - Exercice 5

12 min
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COMPETENCES :
1°) Connaitre et utiliser le langage d'une fonction : (image ,antécédent).
2°) Savoir calculer en utilisant le langage algébrique. (Lettres, symboles ,etc).
Question 1
ff est la fonction linéaire x↦−713xx\mapsto -\frac{7}{13}x .

Calculer l'antécédent de 22 par ff.

Correction
ff est la fonction linéaire x↦−713xx\mapsto -\frac{7}{13}x qui peut s'écrire également sous la forme f(x)=−713xf\left(x\right)=-\frac{7}{13}x.
Pour déterminer l'antécédent de 22 par ff, il nous faut résoudre l'équation f(x)=2f\left(x\right)=2.
f(x)=2f\left(x\right)=2 équivaut successivement à :
−713x=2-\frac{7}{13}x=2
−713x−(713)=2(−713)\frac{-\frac{7}{13} x}{-\left(\frac{7}{13} \right)} =\frac{2}{\left(-\frac{7}{13} \right)}   \;On divise chaque membre par le nombre devant le xx qui ici vaut −713.{\color{blue}-\frac{7}{13}.}
x=2÷(−713)x=2\div {\left(-\frac{7}{13} \right)}
x=2×(−137)x=2\times {\left(-\frac{13}{7} \right)}
x=21×(−137)x=\frac{2}{1}\times {\left(-\frac{13}{7} \right)}

x=2×(−13)1×7x=\frac{2\times (-13)}{1\times 7}
x=−267x=-\frac{26}{7}

Il en résulte que −267-\frac{26}{7} est l'antécédent de 22 par ff.
Question 2
ff est la fonction linéaire x↦−713xx\mapsto -\frac{7}{13}x .

Calculer l'antécédent de −8-8 par ff.

Correction
ff est la fonction linéaire x↦−713xx\mapsto -\frac{7}{13}x qui peut s'écrire également sous la forme f(x)=−713xf\left(x\right)=-\frac{7}{13}x.
Pour déterminer l'antécédent de −8-8 par ff, il nous faut résoudre l'équation f(x)=−8f\left(x\right)=-8.
f(x)=−8f\left(x\right)=-8 équivaut successivement à :
−713x=−8-\frac{7}{13}x=-8
−713x−(713)=−8(−713)\frac{-\frac{7}{13} x}{-\left(\frac{7}{13} \right)} =\frac{-8}{\left(-\frac{7}{13} \right)}   \;On divise chaque membre par le nombre devant le xx qui ici vaut −713.{\color{blue}-\frac{7}{13}.}
x=−8÷(−713)x=-8\div {\left(-\frac{7}{13} \right)}
x=−8×(−137)x=-8\times {\left(-\frac{13}{7} \right)}
x=−81×(−137)x=-\frac{8}{1}\times {\left(-\frac{13}{7} \right)}

x=(−8)×(−13)1×7x=\frac{(-8)\times (-13)}{1\times 7}
x=1047x=\frac{104}{7}

Il en résulte que 1047\frac{104}{7} est l'antécédent de −8-8 par ff.
Question 3
ff est la fonction linéaire x↦−713xx\mapsto -\frac{7}{13}x .

Calculer l'antécédent de 1513\frac{15}{13} par ff.

Correction
ff est la fonction linéaire x↦−713xx\mapsto -\frac{7}{13}x qui peut s'écrire également sous la forme f(x)=−713xf\left(x\right)=-\frac{7}{13}x.
Pour déterminer l'antécédent de 1513\frac{15}{13} par ff, il nous faut résoudre l'équation f(x)=1513f\left(x\right)=\frac{15}{13}.
f(x)=1513f\left(x\right)=\frac{15}{13} équivaut successivement à :
−713x=1513-\frac{7}{13}x=\frac{15}{13}
−713x−(713)=1513−(713)\frac{-\frac{7}{13} x}{-\left(\frac{7}{13} \right)} =\frac{\frac{15}{13} }{-\left(\frac{7}{13} \right)}   \;On divise chaque membre par le nombre devant le xx qui ici vaut −713.{\color{blue}-\frac{7}{13}.}
x=1513÷(−713)x=\frac{15}{13}\div {\left(-\frac{7}{13} \right)}
x=1513×(−137)x=\frac{15}{13}\times {\left(-\frac{13}{7} \right)}
x=−15×1313×7x=-\frac{15\times 13}{13\times 7}
x=−15×1313×7x=-\frac{15\times \cancel{ \color{red}13}}{\cancel{ \color{red}13}\times 7 }
x=−157x=-\frac{15}{7}

Il en résulte que −157-\frac{15}{7} est l'antécédent de 1513\frac{15}{13} par ff.

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