Savoir calculer un antécédent avec une fonction linéaire - Exercice 5

$$f$$ est la fonction linéaire $$x\mapsto -\frac{7}{13}x$$ qui peut s'écrire également sous la forme $$f\left(x\right)=-\frac{7}{13}x$$.
Pour déterminer l'antécédent de $$2$$ par $$f$$, il nous faut résoudre l'équation $$f\left(x\right)=2$$.
$$f\left(x\right)=2$$ équivaut successivement à :
$$-\frac{7}{13}x=2$$
$$\frac{-\frac{7}{13} x}{-\left(\frac{7}{13} \right)} =\frac{2}{\left(-\frac{7}{13} \right)}$$ $$\;$$On divise chaque membre par le nombre devant le $$x$$ qui ici vaut $${\color{blue}-\frac{7}{13}.}$$
$$x=2\div {\left(-\frac{7}{13} \right)}$$
$$x=2\times {\left(-\frac{13}{7} \right)}$$
$$x=\frac{2}{1}\times {\left(-\frac{13}{7} \right)}$$

$$x=\frac{2\times (-13)}{1\times 7}$$

Il en résulte que $$-\frac{26}{7}$$ est l'antécédent de $$2$$ par $$f$$.

$$f$$ est la fonction linéaire $$x\mapsto -\frac{7}{13}x$$ qui peut s'écrire également sous la forme $$f\left(x\right)=-\frac{7}{13}x$$.
Pour déterminer l'antécédent de $$-8$$ par $$f$$, il nous faut résoudre l'équation $$f\left(x\right)=-8$$.
$$f\left(x\right)=-8$$ équivaut successivement à :
$$-\frac{7}{13}x=-8$$
$$\frac{-\frac{7}{13} x}{-\left(\frac{7}{13} \right)} =\frac{-8}{\left(-\frac{7}{13} \right)}$$ $$\;$$On divise chaque membre par le nombre devant le $$x$$ qui ici vaut $${\color{blue}-\frac{7}{13}.}$$
$$x=-8\div {\left(-\frac{7}{13} \right)}$$
$$x=-8\times {\left(-\frac{13}{7} \right)}$$
$$x=-\frac{8}{1}\times {\left(-\frac{13}{7} \right)}$$

$$x=\frac{(-8)\times (-13)}{1\times 7}$$

Il en résulte que $$\frac{104}{7}$$ est l'antécédent de $$-8$$ par $$f$$.

$$f$$ est la fonction linéaire $$x\mapsto -\frac{7}{13}x$$ qui peut s'écrire également sous la forme $$f\left(x\right)=-\frac{7}{13}x$$.
Pour déterminer l'antécédent de $$\frac{15}{13}$$ par $$f$$, il nous faut résoudre l'équation $$f\left(x\right)=\frac{15}{13}$$.
$$f\left(x\right)=\frac{15}{13}$$ équivaut successivement à :
$$-\frac{7}{13}x=\frac{15}{13}$$
$$\frac{-\frac{7}{13} x}{-\left(\frac{7}{13} \right)} =\frac{\frac{15}{13} }{-\left(\frac{7}{13} \right)}$$ $$\;$$On divise chaque membre par le nombre devant le $$x$$ qui ici vaut $${\color{blue}-\frac{7}{13}.}$$
$$x=\frac{15}{13}\div {\left(-\frac{7}{13} \right)}$$
$$x=\frac{15}{13}\times {\left(-\frac{13}{7} \right)}$$
$$x=-\frac{15\times 13}{13\times 7}$$
$$x=-\frac{15\times \cancel{ \color{red}13}}{\cancel{ \color{red}13}\times 7 }$$

Il en résulte que $$-\frac{15}{7}$$ est l'antécédent de $$\frac{15}{13}$$ par $$f$$.