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Exercices types : partie 2 - Exercice 2

15 min
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Question 1
On considère le programme de calcul suivant :

Partie A
Justifier qu’en choisissant 55 comme nombre de départ, le résultat final obtenu est 18.18.

Correction
1°) Déterminons le résultat obtenu à gauche :
première étape :
Le nombre choisi est 5.\color{blue}5.
deuxième étape :
On soustrait 22 à ce nombre.
On obtient donc   \;⇒\color{red}\Rightarrow   \; 5−2=3.\color{blue}5-2=3.
2°) Déterminons le résultat obtenu à droite :
première étape :
Le nombre choisi est 5.\color{blue}5.
deuxième étape :
On ajoute 11 à ce nombre.
On obtient donc   \;⇒\color{red}\Rightarrow   \; 5+1=6.\color{blue}5+1=6.
On multiplie le résultat trouvé à gauche avec celui de droite :
On obtient donc   \;⇒\color{red}\Rightarrow   \; 3×6=18.\color{blue}3\times6=18.
On peut donc conclure que si le nombre de départ est 55 le résultat du programme est 1818.
Question 2

Calculer le résultat final donné par ce programme lorsque le nombre de départ choisi est −32.-\frac{3}{2}.

Correction
1°) Déterminons le résultat obtenu à gauche :
première étape :
Le nombre choisi est −32.\color{blue}-\frac{3}{2}.
deuxième étape :
On soustrait 22 à ce nombre.
On obtient donc   \;⇒\color{red}\Rightarrow   \; −32−2=−72.\color{blue}-\frac{3}{2}-2=-\frac{7}{2}.
2°) Déterminons le résultat obtenu à droite :
première étape :
Le nombre choisi est −32.\color{blue}-\frac{3}{2}.
deuxième étape :
On ajoute 11 à ce nombre.
On obtient donc   \;⇒\color{red}\Rightarrow   \; −32+1=−12.\color{blue}-\frac{3}{2}+1=-\frac{1}{2}.
On multiplie le résultat trouvé à gauche avec celui de droite :
On obtient donc   \;⇒\color{red}\Rightarrow   \; −72×(−12)=−−7×(−1)2×2=74\color{blue}-\frac{7}{2}\times\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{-7\times(-1)}{2\times2}=\frac{7}{4}
On peut donc conclure que si le nombre de départ est −32-\frac{3}{2} le résultat du programme est 74\frac{7}{4}.
Question 3

Le script donné ci-dessous, écrit avec un logiciel de programmation, correspond au programme de calcul ci-dessus.
Compléter les lignes 3,3, 44 et 55 du script à rendre avec la copie. Aucune justification n’est attendue.

Correction
Question 4
Partie B
Soit la fonction gg définie, pour un nombre xx donné, par g(x)=x2−x−2.g(x)=x^2-x-2.

Prouver que (x−2)(x+1)=x2−x−2(x −2)(x +1)=x^2-x-2

Correction
Ici, il nous faut développer l'expression (x−2)(x+1)(x-2)(x+1).
(x−2)(x+1)=x×x+x×1−2×x−2×1(x-2)(x+1)=x\times{x}+x\times1-2\times{x}-2\times1
(x−2)(x+1)=x2+x−2x−2(x-2)(x+1)=x^2+x-2x-2
(x−2)(x+1)=x2−x−2(x-2)(x+1)=x^2-x-2
Question 5

Résoudre l’équation (x−2)(x+1)=0.(x −2)(x +1) = 0.

Correction
Ici il nous faut résoudre l'équation : (x−2)(x+1)=0.(x −2)(x +1) = 0.
  • Le produit de 2 facteurs est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
  • Résoudre une équation produit revient à résoudre deux équations du premier degré.
(x−2)(x+1)=0(x −2)(x +1) = 0      \;\;\;Si et seulement si :         \;\;\;\;x−2=0x-2= 0          \;\;\;\;\; ou :          \;\;\;\;\; x+1=0x+1 =0
Ainsi, on a :
x−2=0x-2=0
x−2+2=0+2x-2{\color{blue}{+2}} =0{\color{blue}{+2}}   \; On ajoute 2{\color{blue}2} à chaque membre.
x=2\boxed{x=2}
                                                                            \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; OU\textbf{\red{OU}}
x+1=0x+1=0
x+1−1=0−1x+1{\color{blue}{-1}} =0{\color{blue}{-1}}   \; On soustrait 1{\color{blue}1} à chaque membre.
x=−1\boxed{x=-1}
Les solutions de l'équations (x−2)(x+1)=0(x-2)(x+1)=0 sont x=2x=2 et x=−1.x=-1.
Question 6

En déduire les antécédents de 00 par la fonction g.g. Aucune justification n’est attendue.

Correction
On cherche les antécédents de 00.
C'est-à-dire xx tel que g(x)=0.g(x)=0.
Cela revient à résoudre l'équation vu à la question précédente :(x−2)(x+1)=0(x-2)(x+1)=0
On peut donc en déduire que les antécédents de 00 sont x=2x=2 et x=−1x=-1.
Question 7

Parmi les trois graphiques ci-dessus, lequel correspond à la représentation graphique de la fonction g  ?g\;? Aucune justification n’est attendue.

Correction
Méthode 1 :
La représentation graphique du graphique 11 et 22 est une droite qui ne passe pas par l'origine du repère.
Cela correspond donc à la représentation graphique d'une fonction affine de la forme y=ax+by=ax+b.
Or g(x)g(x) n'est pas de la forme ax+bax+b, la bonne réponse est donc le graphique 3\color{blue}3.
Méthode 2 :
De la question précédente, on sait que que les antécédents de 00 sont x=2x=2 et x=−1x=-1.
Cela correspond donc au graphique 3\color{blue}3.
Question 8

Quel(s) nombre(s) doit-on choisir comme nombre de départ pour que le programme de calcul donne 00 comme résultat final ??

Correction
Considérons xx le nombre de départ.
En prenant xx comme nombre de départ, on obtient (x−2)(x+1)(x-2)(x+1) à la fin du programme.
Ici, on cherche donc les valeurs de xx tel que : (x−2)(x+1)=0.(x-2)(x+1)=0.
A l'aide des questions précédentes, il faut donc choisir x=2x=2 ou x=−1x=-1 pour que le programme de calcul donne 00 comme résultat final.