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Factoriser avec les facteurs communs - Exercice 3

6 min
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COMPETENCES :Savoir calculer et factoriser une expression en utilisant le langage algébrique.
Factoriser les expressions suivantes :
Question 1

A=(x−4)2−(x−4)(8x+7)A=\left(x-4\right)^{2}-\left(x-4\right)\left(8x+7\right)

Correction
  • Factoriser une expression, c’est l’écrire sous la forme d’un produit de facteurs.
  • Si l’expression contient un facteur commun, alors on utilise l'une des formules de factorisation : ka+kb=k(a+b)      ou        ka–kb=k(a–b)⇒  \color{red}ka + kb = k(a+b)\;\;\;ou\;\;\;\;ka – kb = k(a – b)\Rightarrow\;Ici k\color{red}k représente le facteur en commun.
On rappelle que : (x−4)2=(x−4)(x−4)\left(x-4\right)^{2}=\left(x-4\right)\left(x-4\right).
A=(x−4)2−(x−4)(8x+7)A=\left(x-4\right)^{2}-\left(x-4\right)\left(8x+7\right) équivaut successivement à :
A=(x−4)(x−4)−(x−4)(8x+7)A=\left(x-4\right){\color{blue}{\left(x-4\right)}}-{\color{blue}{\left(x-4\right)}}\left(8x+7\right)
Ici, AA est de la forme ka−kb\color{red}ka-kb, avec comme facteur en commun : k=x−4\color{blue}k=x-4,    \;\;a=x−4a=x-4       \;\;\;et      \;\;\;b=8x+7b=8x+7
Or      \;\;\; ka−kb=k(a−b){\color{red}ka -kb = k(a -b)}, alors :
A=(x−4)(x−4−(8x+7))A={\color{blue}{\left(x-4\right)}}\left(x-4-\left(8x+7\right)\right)
A=(x−4)(x−4−8x−7)A=\left(x-4\right)\left(x-4-8x-7\right) Ici, nous avons changé les signes dans la parenthèse, car nous avions le signe moins devant la parenthèse.
A=(x−4)(−7x−11)A=\left(x-4\right)\left(-7x-11\right)
Question 2

B=(x−3)(5x−5)−(2x+6)(x−3)B=\left(x-3\right)\left(5x-5\right)-\left(2x+6\right)\left(x-3\right)

Correction
B=(x−3)(5x−5)−(2x+6)(x−3)B={\color{blue}{\left(x-3\right)}}\left(5x-5\right)-\left(2x+6\right){\color{blue}{\left(x-3\right)}}
Ici, BB est de la forme ka−kb\color{red}ka-kb, avec comme facteur en commun : k=x−3\color{blue}k=x-3,    \;\;a=5x−5a=5x-5       \;\;\;et      \;\;\;b=2x+6b=2x+6
Or      \;\;\; ka−kb=k(a−b){\color{red}ka -kb = k(a -b)}, alors :
B=(x−3)(5x−5−(2x+6))B={\color{blue}{\left(x-3\right)}}\left(5x-5-\left(2x+6\right)\right)
B=(x−3)(5x−5−2x−6)B={\color{blue}{\left(x-3\right)}}\left(5x-5-2x-6\right)Ici, nous avons changé les signes dans la parenthèse, car nous avions le signe moins devant la parenthèse.
B=(x−3)(3x−11)B=\left(x-3\right)\left(3x-11\right)
Question 3

C=(6x+2)(7x−3)+(6x+2)(3x+5)C=\left(6x+2\right)\left(7x-3\right)+\left(6x+2\right)\left(3x+5\right)

Correction
C=(6x+2)(7x−3)+(6x+2)(3x+5)C={\color{blue}{\left(6x+2\right)}}\left(7x-3\right)+{\color{blue}{\left(6x+2\right)}}\left(3x+5\right)
Ici, CC est de la forme ka+kb\color{red}ka+kb, avec comme facteur en commun : k=6x+2\color{blue}k=6x+2,    \;\;a=7x−3a=7x-3       \;\;\;et      \;\;\;b=3x+5b=3x+5
Or      \;\;\; ka+kb=k(a+b){\color{red}ka +kb = k(a +b)}, alors :
C=(6x+2)(7x−3+3x+5)C={\color{blue}{\left(6x+2\right)}}\left(7x-3+3x+5\right)
C=(6x+2)(10x+2)C=\left(6x+2\right)\left(10x+2\right)

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