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Sujet 3 - Exercice 1

18 min
30
Question 1

Justifier que le nombre 102102 est divisible par 3.3.

Correction
  • Un nombre entier est divisible par 3, si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
  • Autrement dit, si la somme de ses chiffres est dans la table de 3.
102\color{blue}102 est divisible par 3\color{blue}3 en effet en additionnant les chiffres du nombre, on obtient :
1+0+2=31+0+2=3   \;⇒\color{red}\Rightarrow   \; 33 est bien divisible par 33.
En effet, 33 est bien dans la table de 33.  \;⇒\color{red}\Rightarrow   \;3=3×1.3=3\times{1}.
Question 2
On donne la décomposition en produits de facteurs premiers de 8585 ::
85=5×17.85 = 5×17.

Décomposer 102102 en produits de facteurs premiers.

Correction
Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement 2 diviseurs distincts entiers et positifs.
  • Ces deux diviseurs sont 1 \color{red}1 et le nombre lui-même.
    • Il est important de connaître les premiers nombres premiers : (2  ;  3  ;  5  ;  7  ;11  ;13  ;17  ;  19  ;  23).\color{red}(2\;;\;3\;;\;5\;;\;7\;;11\;;13\;;17\;;\;19\;;\;23).
    On cherche les diviseurs de 102102 dans l'ordre croissant :
    102102 est divisible par 22 ainsi : 102=2×51102={\color{red}2}\times 51
    5151 est divisible par 33 ainsi : 102=2×3×17102={\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times 17
    1717 est un nombre premier, donc la décomposition de 102102 en produits de facteurs premiers est alors :
    102=2×3×17102={\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times 17
    Question 3

    Donner 33 diviseurs non premiers du nombre 102.102.

    Correction
    Déterminons la liste des diviseurs de 102
    À l'aide de la calculatrice, on constate que la liste des diviseurs de 102102 est : (1  ;  2  ;  3  ;  6  ;  17  ;  34  ;  51  ;  102)\color{blue}(1\;;\;2\;;\;3\;;\;6\;;\;17\;;\;34\;;\;51\;;\;102).
    Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement 2 diviseurs distincts entiers et positifs.
  • Ces deux diviseurs sont 1 \color{red}1 et le nombre lui-même.
    • Il est important de connaître les premiers nombres premiers : (2  ;  3  ;  5  ;  7  ;11  ;13  ;17  ;  19  ;  23).\color{red}(2\;;\;3\;;\;5\;;\;7\;;11\;;13\;;17\;;\;19\;;\;23).
    On peut donc choisir comme diviseur non premier : (6  ;34  ;  102).\color{blue}(6\;;34\;;\;102).
    Question 4
    Un libraire dispose d’une feuille cartonnée de 8585 cm sur 102102 cm.
    Il souhaite découper dans celle-ci, en utilisant toute la feuille, des étiquettes carrées.
    Les côtés de ces étiquettes ont tous la même mesure.

    Les étiquettes peuvent-elles avoir 3434 cm de côté ? Justifier.

    Correction
    Pour que le libraire puisse réaliser des étiquettes de 3434 cm de côté, il faut que les nombres 102102 et 8585 soient divisible par 34.
    1°) Déterminons si 102 est divisible par 34.
    10234=3\frac{102}{34}=3
    On peut donc en déduire que 102102 est divisible par 34.
    2°) Déterminons si 85 est divisible par 34.
    8534=2,5\frac{85}{34}=2,5    \;\;
    On peut donc en déduire que 8585 n'est pas divisible par 34.
    On peut donc conclure que le libraire ne pourra pas réaliser des étiquettes de 3434 cm de côtés.
    Question 5

    Le libraire découpe des étiquettes de 1717 cm de côté.
    Combien d’étiquettes pourra-t-il découper dans ce cas ??

    Correction
    On sait que le libraire découpe des étiquettes de 1717 cm de côtés.
    Les dimensions de la feuille cartonnée sont 8585 cm sur 102102 cm.
    On a donc :
    8517=5\frac{85}{17}=5     ⇒    \color{red}{\;\;\Rightarrow\;\;} On aura donc 55 étiquettes en longueur.
    10217=6\frac{102}{17}=6     ⇒    \color{red}{\;\;\Rightarrow\;\;} On aura donc 66 étiquettes en largeur.
    Au total, il y aura donc 5×6=305\times6=30 étiquettes.