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Cours sur les puissances

Calculs sur les puissances

Soit $n$ un nombre entier non nul .
Le nombre réel $a$ , à la puissance $n$ est définie par : $a^{n} =\underbrace{a\times a\times a\times \ldots \times a}_{n\text{ fois}}$
On admet que
$a^0=1$

Propriété

Soient $n$ et $m$ deux entiers relatifs et $a$ un réel alors :
${\color{red}{a}}^{{\color{blue}{n}}}\times {\color{red}{a}}^{{\color{green}{m}}} ={\color{red}{a}}^{{\color{blue}{n}}+{\color{green}{m}}}$

\pink{\text{Exemple :}}

Exprimer sous la forme d’une seule puissance :

A=7^2\times 7^3

A={\color{red}{7}}^{{\color{blue}{2}}}\times {\color{red}{7}}^{{\color{green}{3}}}

A ={\color{red}{7}}^{{\color{blue}{2}}+{\color{green}{3}}}

Ainsi :

A=7^{5}

Propriété

Soient $n$ et $m$ deux entiers relatifs et $a$ un réel alors :
$\frac{{\color{red}{a}}^{{\color{blue}{n}}}}{{\color{red}{a}}^{{\color{green}{m}}}}={\color{red}{a}}^{{\color{blue}{n}}-{\color{green}{m}}}$

\pink{\text{Exemple :}}

Exprimer sous la forme d’une seule puissance :

B=\frac{5^8}{5^2}

B=\frac{{\color{red}{5}}^{{\color{blue}{8}}}}{{\color{red}{5}}^{{\color{green}{2}}}}

B={\color{red}{5}}^{{\color{blue}{8}}-{\color{green}{2}}}

Ainsi :

B=5^{6}

Propriété

Soient $n$ et $m$ deux entiers relatifs et $a$ un réel alors :
$\left({\color{red}{a}}^{{\color{blue}{n}}} \right)^{{\color{green}{m}}} ={\color{red}{a}}^{{\color{blue}{n}}\times {\color{greeen}{m}}}$

\pink{\text{Exemple :}}

Exprimer sous la forme d’une seule puissance :

C=\left(6^{-3} \right)^{4}

C=\left({\color{red}{6}}^{{\color{blue}{-3}}} \right)^{{\color{green}{4}}}

C={\color{red}{6}}^{{\color{blue}{\left(-3\right)}}\times {\color{greeen}{4}}}

Ainsi :

C=6^{-12}

Propriété

Soient $n$ un entier relatif et $a$ et $b$ deux réels non nuls alors :
$\left({\color{blue}{a}}\times {\color{red}{b}}\right)^{{\color{green}{n}}} ={\color{blue}{a}}^{{\color{green}{n}}} \times {\color{red}{b}}^{{\color{green}{n}}}$

\pink{\text{Exemple :}}

Exprimer sous la forme d’une seule puissance :

D=4^{2}\times5^{2}

D={\color{blue}{4}}^{{\color{green}{2}}} \times {\color{red}{5}}^{{\color{green}{2}}}

D=\left({\color{blue}{4}}\times {\color{red}{5}}\right)^{{\color{green}{2}}}

Ainsi :

D=20^{2}

Propriété

Soient $n$ un entier relatif et $a$ un réel non nul alors :
$\frac{1}{{\color{blue}{a}}^{{\color{red}{n}}} } ={\color{blue}{a}}^{-{\color{red}{n}}}$

\pink{\text{Exemple :}}

Exprimer sous la forme d’une seule puissance :

E=\frac{1}{4^{6}}

E=\frac{1}{{\color{blue}{4}}^{{\color{red}{6}}} }

Ainsi :

E={\color{blue}{4}}^{-{\color{red}{6}}}

\pink{\text{Exemple :}}

Exprimer sous la forme d’une seule puissance :

F=\frac{2^{3} \times \left(2^{4} \right)^{5} }{2^{4} \times 2^{-7} }

F=\frac{2^{3} \times \left(2^{4} \right)^{5} }{2^{4} \times 2^{-7} }

équivaut successivement à :

F=\frac{2^{3} \times 2^{4\times 5} }{2^{4} \times 2^{-7} }

F=\frac{2^{3} \times 2^{20} }{2^{4} \times 2^{-7} }

F=\frac{2^{3+20} }{2^{4+\left(-7\right)} }

F=\frac{2^{3+20} }{2^{4-7} }

F=\frac{2^{23} }{2^{-3} }

F=2^{23-\left(-3\right)}

F=2^{23+3}

Ainsi :

F=2^{26}