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Comment savoir si deux angles sont associés au même point sur le cercle trigonométrique - Exercice 1

15 min
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Question 1

On considère x=43π11x=\frac{43\pi }{11} et y=π11y=\frac{-\pi }{11} .
Les nombres réels xx et yy sont-ils associés au même point sur le cercle trigonométrique ?
Justifier.

Correction
Pour savoir si deux réels xx et yy sont associés au même point sur le cercle trigonométrique, on effectue la méthode ci-dessous :
  • Si xy=2×k×πx-y=2\times k\times\pi kZk\in \mathbb{Z} alors xx et yy sont des mesures en radian d'un même angle orienté.
  • xy=43π11(π11)x-y=\frac{43\pi }{11} -\left(\frac{-\pi }{11} \right) équivaut successivement à
    xy=43π11+π11x-y=\frac{43\pi }{11} +\frac{\pi }{11}
    xy=44π11x-y=\frac{44\pi }{11}
    xy=4πx-y=4\pi
    xy=2×2×πx-y=2\times {\color{blue}2}\times\pi k=2{\color{blue}k=2} et 2Z{\color{blue}2}\in \mathbb{Z}.
    Les nombres réels xx et yy sont associés au même point sur le cercle trigonométrique.
    Question 2

    On considère x=29π12x=\frac{29\pi }{12} et y=7π12y=\frac{-7\pi }{12} .
    Les nombres réels xx et yy sont-ils associés au même point sur le cercle trigonométrique ?
    Justifier.

    Correction
    Pour savoir si deux réels xx et yy sont associés au même point sur le cercle trigonométrique, on effectue la méthode ci-dessous :
  • Si xy=2kπx-y=2k\pi kZk\in \mathbb{Z} alors xx et yy sont des mesures en radian d'un même angle orienté.
  • xy=29π12(7π12)x-y=\frac{29\pi }{12} -\left(\frac{-7\pi }{12} \right) équivaut successivement à
    xy=29π12+7π12x-y=\frac{29\pi }{12} +\frac{7\pi }{12}
    xy=36π12x-y=\frac{36\pi }{12}
    xy=3πx-y=3\pi
    xy=2×1,5×πx-y=2\times {\color{blue}1,5}\times\pi k=1,5{\color{blue}k=1,5} et 1,5Z{\color{blue}1,5}\notin \mathbb{Z}
    Les nombres réels xx et yy ne sont pas associés au même point sur le cercle trigonométrique.
    Question 3

    Les réels A=40π3A=\frac{40\pi }{3} et B=14π3B=\frac{-14\pi }{3} correspondent-ils au même point image sur le cercle trigonométrique ?
    Justifier.

    Correction
    SI AB=2kπA-B=2k\pi kZk\in \mathbb{Z} alors AA et BB sont des mesures en radian d'un même angle orienté.
    Autrement dit, AA et BB correspondent au même point image sur le cercle trigonométrique.
    AB=40π3(14π3)A-B=\frac{40\pi }{3} -\left(\frac{-14\pi }{3} \right) équivaut successivement à
    AB=40π3+14π3A-B=\frac{40\pi }{3} +\frac{14\pi }{3}
    AB=54π3A-B=\frac{54\pi }{3}
    AB=18πA-B=18\pi
    AB=2×9×πA-B=2\times {\color{blue}9}\times\pi k=9{\color{blue}k=9} et 9Z{\color{blue}9}\in \mathbb{Z}.
    Les réels AA et BB correspondent au même point image sur le cercle trigonométrique.
    Question 4

    Les réels A=7π2A=\frac{7\pi }{2} et B=29π2B=\frac{29\pi }{2} correspondent-ils au même point image sur le cercle trigonométrique ?
    Justifier.

    Correction
    SI AB=2kπA-B=2k\pi kZk\in \mathbb{Z} alors AA et BB sont des mesures en radian d'un même angle orienté.
    Autrement dit, AA et BB correspondent au même point image sur le cercle trigonométrique.
    AB=7π229π2A-B=\frac{7\pi }{2} -\frac{29\pi }{2} équivaut successivement à
    AB=22π2A-B=-\frac{22\pi }{2}
    AB=11πA-B=-11\pi
    AB=2×(5,5)×πA-B=2\times {\color{blue}\left(-5,5\right)}\times\pi k=5,5{\color{blue}k=-5,5} et 5,5Z{\color{blue}-5,5}\notin \mathbb{Z}.
    Les réels AA et BB correspondent au même point image sur le cercle trigonométrique.
    Les nombres réels AA et BB ne sont pas associés au même point sur le cercle trigonométrique.