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Produit scalaire : définition analytique - Exercice 1

6 min
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Question 1

On considère les vecteurs AB→(56)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {5} \\ {6} \end{array}\right) et AC→(23)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right) . Calculer AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}

Correction
  • Dans un repère orthonormé (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j}\right) , le produit scalaire de deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} de coordonnées respectives (x;y)\left(x;y\right) et (x′;y′)\left(x';y'\right) est égal à :
    u→⋅v→=xx′+yy′\overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{v}=xx'+yy'
AB→⋅AC→=5×2+6×3\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =5\times 2+6\times 3
AB→⋅AC→=10+18\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =10+18
Ainsi :
AB→⋅AC→=28\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =28

Question 2

On considère les vecteurs AB→(4−1)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {4} \\ {-1} \end{array}\right) et AC→(10)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \end{array}\right) . Calculer AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}

Correction
  • Dans un repère orthonormé (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j}\right) , le produit scalaire de deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} de coordonnées respectives (x;y)\left(x;y\right) et (x′;y′)\left(x';y'\right) est égal à :
    u→⋅v→=xx′+yy′\overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{v}=xx'+yy'
AB→⋅AC→=4×1+(−1)×0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =4\times 1+\left(-1\right)\times 0
AB→⋅AC→=4+0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =4+0
Ainsi :
AB→⋅AC→=4\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =4

Question 3

On considère les vecteurs u→(−23)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {3} \end{array}\right) et v→(64)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {6} \\ {4} \end{array}\right) . Calculer u→⋅v→\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}

Correction
  • Dans un repère orthonormé (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j}\right) , le produit scalaire de deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} de coordonnées respectives (x;y)\left(x;y\right) et (x′;y′)\left(x';y'\right) est égal à :
    u→⋅v→=xx′+yy′\overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{v}=xx'+yy'
u→⋅v→=−2×6+3×4\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =-2\times 6+3\times 4
u→⋅v→=−12+12\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =-12+12
Ainsi :
u→⋅v→=0\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =0
  • Si u→⋅v→=0\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =0 alors les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sont orthogonaux.