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Déterminer les primitives de fonctions de la forme : x↦sin⁡(ax+b)\red{x\mapsto\sin \left(ax+b\right)} - Exercice 3

10 min
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Question 1

Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=sin⁡(44x+π29)f\left(x\right)=\sin \left(44x+\frac{\pi }{29} \right)

Correction
Soit a\color{red}{a} un réel non nul .
  • Une primitive de sin⁡(ax+b)\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −1acos⁡(ax+b)-\frac{1}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    • Nous avons f(x)=sin⁡(44x+π29)f\left(x\right)=\sin \left({\color{red}{44}}x+{\color{blue}{\frac{\pi }{29}}} \right) avec a=44{\color{red}{a=44}} et b=π29{\color{blue}{b=\frac{\pi }{29}}}
    Or une primitive de sin⁡(ax+b)\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −1acos⁡(ax+b)-\frac{1}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=−1acos⁡(ax+b)F\left(x\right)=-\frac{1}{\color{red}{a}}\cos\left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=−144cos⁡(44x+π29)F\left(x\right)=-\frac{1}{\color{red}{44}}\cos \left({\color{red}{44}}x+{\color{blue}{\frac{\pi }{29}}}\right)

    Question 2

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(t)=sin⁡(−16t+π8)f\left(t\right)=\sin \left(-16t+\frac{\pi }{8} \right)

    Correction
    Soit a\color{red}{a} un réel non nul .
  • Une primitive de sin⁡(ax+b)\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −1acos⁡(ax+b)-\frac{1}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    • Nous avons f(t)=sin⁡(−16t+π8)f\left(t\right)=\sin \left({\color{red}{-16}}t+{\color{blue}{\frac{\pi }{8}}} \right) avec a=−16{\color{red}{a=-16}} et b=π8{\color{blue}{b=\frac{\pi }{8}}}
    Or une primitive de sin⁡(at+b)\sin \left({\color{red}{a}}t+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −1acos⁡(at+b)-\frac{1}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}t+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(t)=−1acos⁡(at+b)F\left(t\right)=-\frac{1}{\color{red}{a}}\cos\left({\color{red}{a}}t+{\color{blue}{b}}\right)
    F(t)=−1(−16)cos⁡(−16t+π8)F\left(t\right)=-\frac{1}{\color{red}{\left(-16\right)}}\cos \left({\color{red}{-16}}t+{\color{blue}{\frac{\pi }{8}}}\right)
    Ainsi :
    F(t)=116cos⁡(−16t+π8)F\left(t\right)=\frac{1}{\color{red}{16}}\cos \left({\color{red}{-16}}t+{\color{blue}{\frac{\pi }{8}}}\right)

    Question 3

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(v)=32sin⁡(16v+2π5)f\left(v\right)=32\sin \left(16v+\frac{2\pi }{5} \right)

    Correction
    Soient a\color{red}{a} un réel non nul et k\color{purple}{k} un réel non nul.
  • Une primitive de primitive de k×sin⁡(ax+b){\color{purple}{k}}\times\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −kacos⁡(ax+b)-\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    • Nous avons f(v)=32sin⁡(16v+2π5)f\left(v\right)={\color{purple}{32}}\sin \left({\color{red}{16}}v+{\color{blue}{\frac{2\pi }{5}}} \right) avec a=16{\color{red}{a=16}} ; b=2π5{\color{blue}{b=\frac{2\pi }{5}}} et k=32{\color{purple}{k=32}}
    Or une primitive de k×sin⁡(av+b){\color{purple}{k}}\times\sin \left({\color{red}{a}}v+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −kacos⁡(av+b)-\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}v+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(v)=−kacos⁡(av+b)F\left(v\right)=-\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}v+{\color{blue}{b}}\right)
    Ainsi :
    F(v)=−3216cos⁡(16v+2π5)F\left(v\right)=-\frac{{\color{purple}{32}}}{\color{red}{16}}\cos \left({\color{red}{16}}v+{\color{blue}{\frac{2\pi }{5}}}\right)

    Après simplification, on obtient : F(v)=−2cos⁡(16v+2π5)F\left(v\right)=-2\cos \left(16v+\frac{2\pi }{5}\right)
    Question 4

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=3,9sin⁡(3x+15π2)f\left(x\right)=3,9\sin \left(3x+\frac{15\pi }{2} \right)

    Correction
    Soient a\color{red}{a} un réel non nul et k\color{purple}{k} un réel non nul.
  • Une primitive de primitive de k×sin⁡(ax+b){\color{purple}{k}}\times\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −kacos⁡(ax+b)-\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    • Nous avons f(x)=3,9sin⁡(3x+15π2)f\left(x\right)={\color{purple}{3,9}}\sin \left({\color{red}{3}}x+{\color{blue}{\frac{15\pi }{2}}} \right) avec a=3{\color{red}{a=3}} ; b=15π2{\color{blue}{b=\frac{15\pi }{2}}} et k=3,9{\color{purple}{k=3,9}}
    Or une primitive de k×sin⁡(ax+b){\color{purple}{k}}\times\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −kacos⁡(ax+b)-\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=−kacos⁡(ax+b)F\left(x\right)=-\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=−3,93cos⁡(3x+15π2)F\left(x\right)=-\frac{{\color{purple}{3,9}}}{\color{red}{3}}\cos \left({\color{red}{3}}x+{\color{blue}{\frac{15\pi }{2}}}\right)

    Après simplification, on obtient : F(x)=−1,3cos⁡(3x+15π2)F\left(x\right)=-1,3\cos\left(3x+\frac{15\pi }{2} \right)
    Question 5

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(u)=157sin⁡(1u10+6π)f\left(u\right)=\frac{15}{7}\sin \left(\frac{1u}{10}+6\pi \right)

    Correction
    Soient a\color{red}{a} un réel non nul et k\color{purple}{k} un réel non nul.
  • Une primitive de primitive de k×sin⁡(ax+b){\color{purple}{k}}\times\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −kacos⁡(ax+b)-\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    • Nous avons f(u)=157sin⁡(110u+6π)f\left(u\right)={\color{purple}{\frac{15}{7}}}\sin \left({\color{red}{\frac{1}{10}}}u+{\color{blue}{6\pi }} \right) avec a=157{\color{red}{a=\frac{15}{7}}} ; b=6π{\color{blue}{b=6\pi }} et k=157{\color{purple}{k=\frac{15}{7}}}
    Or une primitive de k×sin⁡(au+b){\color{purple}{k}}\times\sin \left({\color{red}{a}}u+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −kacos⁡(au+b)-\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}u+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(u)=−kacos⁡(au+b)F\left(u\right)=-\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}u+{\color{blue}{b}}\right)
    Ainsi :
    F(u)=157×1−110cos⁡(110u+6π)F\left(u\right)={\color{purple}{\frac{15}{7}}}\times\frac{1}{\color{red}{-\frac{1}{10}}}\cos \left({\color{red}{\frac{1}{10}}}u+{\color{blue}{6\pi}}\right)

    Après simplification, on obtient : F(u)=157×(−101)cos⁡(110u+6π)=−1507cos⁡(110u+6π)F\left(u\right)=\frac{15}{7}\times\left(-\frac{10}{1}\right)\cos\left(\frac{1}{10}u+6\pi \right) = -\frac{150}{7}\cos\left(\frac{1}{10}u+6\pi \right)