Déterminer les primitives de fonctions de la forme : $$\red{x\mapsto\cos \left(ax+b\right)}$$ - Exercice 3

Soit $$x \in \mathbb{R}$$
Nous avons $$f\left(x\right)=\cos \left({\color{red}{4}}x+{\color{blue}{\frac{3\pi }{25}}} \right)$$ avec $${\color{red}{a=4}}$$ et $${\color{blue}{b=\frac{3\pi }{25}}}$$
Or une primitive de $$\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)$$ est de la forme $$\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(x\right)=\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)$$
Ainsi :

Soit $$v \in \mathbb{R}$$
Nous avons $$f\left(v\right)=\cos \left({\color{red}{12}}v+{\color{blue}{\frac{6\pi }{17}}} \right)$$ avec $${\color{red}{a=12}}$$ et $${\color{blue}{b=\frac{6\pi }{17}}}$$
Or une primitive de $$\cos \left({\color{red}{a}}v+{\color{blue}{b}}\right)$$ est de la forme $$\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}v+{\color{blue}{b}}\right)$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(v\right)=\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}v+{\color{blue}{b}}\right)$$
Ainsi :

Soit $$u \in \mathbb{R}$$
Nous avons $$f\left(u\right)={\color{purple}{6,6}}\cos \left({\color{red}{11}}u+{\color{blue}{5\pi}} \right)$$ avec $${\color{red}{a=11}}$$ ; $${\color{blue}{b=5\pi}}$$ et $${\color{purple}{k=6,6}}$$
Or une primitive de $${\color{purple}{k}}\times\cos \left({\color{red}{a}}u+{\color{blue}{b}}\right)$$ est de la forme $$\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}u+{\color{blue}{b}}\right)$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(u\right)=\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}u+{\color{blue}{b}}\right)$$

Ainsi :
Après simplification, on obtient : $$F\left(u\right)=0,6\sin \left(11u+5\pi \right)$$

Soit $$t \in \mathbb{R}$$
Nous avons $$f\left(t\right)={\color{purple}{21}}\cos \left({\color{red}{\frac{3\pi}{8}}}t \right)$$ avec $${\color{red}{a=\frac{3\pi}{8}}}$$ ; $${\color{blue}{b=0}}$$ et $${\color{purple}{k=21}}$$
Or une primitive de $${\color{purple}{k}}\times\cos \left({\color{red}{a}}t+{\color{blue}{b}}\right)$$ est de la forme $$\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}t+{\color{blue}{b}}\right)$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(t\right)=\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}t+{\color{blue}{b}}\right)$$
Ainsi :
Après simplification, on obtient : $$F\left(t\right)=21\times\frac{8}{3\pi}\sin \left(\frac{3\pi}{8} \right) =56\pi\sin \left(\frac{3\pi}{8} \right)$$

Soit $$x \in \mathbb{R}$$
Nous avons $$f\left(x\right)=52\cos \left({\color{red}{-13}}x+{\color{blue}{26}} \right)$$ avec $${\color{red}{a=-13}}$$ et $${\color{blue}{b=26}}$$ et $${\color{purple}{k=52}}$$
Or une primitive de $${\color{purple}{k}}\times\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)$$ est de la forme $$\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(x\right)=\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)$$
Ainsi :
Aprè simplification, on obtient : $$F\left(x\right)=-4\sin \left(13x+26 \right)$$