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Comment déterminer si une fonction est paire ou impaire ou ni paire ni impaire - Exercice 2

3 min
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Question 1

Soit la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=2sin⁡(x)−4xf\left(x\right)=2\sin \left(x\right)-4x . Déterminer si la fonction ff est paire, impaire ou ni paire ni impaire.

Correction
  • ff est une fonction paire si pour tout réel xx, on a f(−x)=f(x)f\left(-x\right)=f\left(x\right).
    La fonction cosinus est paire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : cos⁡(−x)=cos⁡(x)\cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right)

  • ff est une fonction impaire si pour tout réel xx, on a f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right).
    La fonction sinus est impaire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin \left(-x\right)=-\sin \left(x\right)
    • Calculons f(−x)f\left(-x\right) . Ainsi :
    f(x)=2sin⁡(x)−4xf\left(x\right)=2\sin \left(x\right)-4x
    f(−x)=2sin⁡(−x)−4(−x)f\left(-x\right)=2\sin \left(-x\right)-4\left(-x\right)
    f(−x)=−2sin⁡(x)+4xf\left(-x\right)=-2\sin \left(x\right)+4x
    f(−x)=−(2sin⁡(x)−4x)f\left(-x\right)=-\left(2\sin \left(x\right)-4x\right)
    Ainsi :
    f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right)
    La fonction ff est une fonction impaire.
  • La courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.