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Variations des fonctions polynômes du second degré - Exercice 6

7 min
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Soit ff la fonction définie par f(x)=5x2−25x+5f\left(x\right)=5x^{2} -25x+5 sur l'intervalle [0;10]\left[0;10\right] .
Question 1

Déterminer la dérivée de ff sur l'intervalle [0;10]\left[0;10\right].

Correction
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée de x2{\color{blue}x^{2}} est 2x.{\color{blue}2x} .
  • La dérivée d'un nombre×x2{\color{blue}nombre\times x^{2}} est nombre×2x.{\color{blue}nombre\times2x} .
    • f′(x)=5×2x−25f'\left(x\right)=5\times 2x-25
    f′(x)=10x−25f'\left(x\right)=10x-25
    Question 2

    Étudier les variations de la fonction ff sur l’intervalle [0;10]\left[0;10\right].

    Correction
    • Si f′f' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si f′f' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    Nous savons que : f′(x)=10x−25f'\left(x\right)=10x-25
    Ici la dérivée est une fonction du 11er degré.
    Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation f′(x)≥0f'\left(x\right)\ge 0.
    En effet, en résolvant f′(x)≥0f'\left(x\right)\ge 0, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
    Il vient alors que :
    f′(x)≥0f'\left(x\right)\ge 0 équivaut successivement à
    10x−25≥010x-25\ge 0
    10x≥2510x\ge 25
    x≥2510x\ge \frac{25}{10}
    x≥2,5x\ge 2,5
    Cela signifie que l'on va mettre le signe ++ dans la ligne de 10x−2510x-25 lorsque xx sera supérieur ou égale à 2,52,5.
    Il en résulte donc que :
    • si x∈[0;2,5]x\in\left[0;2,5\right] alors f′(x)≤0f'\left(x\right)\le0 et donc ff est décroissante sur cet intervalle.
    • si x∈[2,5;10]x\in\left[2,5;10\right] alors f′(x)≥0f'\left(x\right)\ge0 et donc ff est croissante sur cet intervalle.
    Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :