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Exercices types : 2ème partie - Exercice 2

15 min
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Une entreprise fabrique des emballages en cartons spécifiques aux médicaments. La production quotidienne sur une de ses lignes de production, exprimée en millier d’emballages, varie entre 55 et 2020.
Le coût correspondant à la fabrication de xx milliers d’emballages, exprimé en euro, est modélisé par la fonction ff définie sur l’intervalle [5;20]\left[5; 20\right] par : f(x)=x3−24x2+180x+250f\left(x\right) = x^{3} -24x^{2} +180x +250 .
Question 1

On note f′f' la fonction dérivée de la fonction ff sur l’intervalle [5;20]\left[5; 20\right]. Calculer f′(x)f'\left(x\right).

Correction
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée de x2{\color{blue}x^{2}} est 2x.{\color{blue}2x} .
  • La dérivée d'un nombre×x2{\color{blue}nombre\times x^{2}} est nombre×2x.{\color{blue}nombre\times2x} .
  • La dérivée d'un x3{\color{blue}x^{3}} est 3x2.{\color{blue}3x^{2}} .
  • La dérivée d'un nombre×x3{\color{blue}nombre\times x^{3}} est nombre×3x2.{\color{blue}nombre\times3x^{2}} .
    • f(x)=x3−24x2+180x+250f\left(x\right) = x^{3} -24x^{2} +180x +250
    f′(x)=3x2−24×2x+180f'\left(x\right)=3x^{2}-24\times2x +180
    f′(x)=3x2−48x+180f'\left(x\right)=3x^{2}-48x+180
    Question 2

    Montrer que f′(x)f'\left(x\right) peut s'écrire sous la forme : f′(x)=3(x−6)(x−10)f'(x)=3\left(x-6\right)(x-10)

    Correction
    Il nous suffit de développer l'expression : f′(x)=3(x−6)(x−10)f'\left(x\right)=3\left(x-6)(x-10\right) et montrer que cela nous donne bien f′(x)=3x2−48x+180f'\left(x\right)=3x^2-48x+180
    Il vient alors que :
    f′(x)=3(x−6)(x−10)f'\left(x\right)=3\left(x-6)(x-10\right) équivaut successivement à :
    3(x−6)(x−10)=3(x×x+x×(−10)−6×x−6×(−10))3\left(x-6)(x-10\right)=3(x\times x+x\times (-10)-6\times x-6\times (-10))
    3(x−6)(x−10)=3(x2−10x−6x+60)3\left(x-6)(x-10\right)=3(x^{2} -10x-6x+60)
    3(x−6)(x−10)=3(x2−16x+60)3\left(x-6)(x-10\right)=3(x^{2} -16x+60)
    3(x−6)(x−10)=3×x2+3×(−16x)+3×603\left(x-6)(x-10\right)=3\times{x^{2}} +3\times{(-16x)}+3\times{60}
    3(x−6)(x−10)=3x2−48x+1803\left(x-6)(x-10\right)=3x^2-48x+180
    Ainsi :
    f′(x)=3(x−6)(x−10)f'\left(x\right)=3\left(x-6\right)\left(x-10\right)

    Question 3

    En déduire le signe de f′f' sur l'intervalle [5;20]\left[5; 20\right]. Dresser le tableau de variation de ff.

    Correction
    • Si f′f' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si f′f' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    Pour étudier le signe de f′f', nous allons utiliser la forme 3(x−6)(x−10)3\left(x-6\right)(x-10).
    Comme 3>03>0 alors le signe de f′f' est du signe de (x−6)(x−10)(x-6)(x-10).
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
    • x−6=0⇔x=6x-6=0\Leftrightarrow x=6
    Soit x↦x−6x\mapsto x-6 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−6x-6 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=6x=6 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
    • x−10=0⇔x=10x-10=0\Leftrightarrow x=10
    Soit x↦x−10x\mapsto x-10 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−10x-10 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=10x=10 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Il vient alors que :
    Question 4

    Dresser le tableau de variation de ff sur l'intervalle [5;20]\left[5;20\right] .

    Correction
    • Si f′f' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si f′f' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    On en déduit le tableau de variation suivant :
  • f(5)=53−24×52+180×5+250f\left(5\right)=5^{3} -24\times5^{2} +180\times5 +250 ainsi
    f(5)=675f\left(5\right)=675
  • f(6)=63−24×62+180×6+250f\left(6\right)=6^{3} -24\times6^{2} +180\times6 +250 ainsi
    f(6)=682f\left(6\right)=682
  • f(10)=103−24×102+180×10+250f\left(10\right)=10^{3} -24\times10^{2} +180\times10 +250 ainsi
    f(10)=650f\left(10\right)=650
  • f(20)=203−24×202+180×20+250f\left(20\right)=20^{3} -24\times20^{2} +180\times20 +250 ainsi
    f(20)=2250f\left(20\right)=2250
    • Question 5

    Quel est le nombre d’emballages à fabriquer pour obtenir le coût minimal? Quel est alors ce coût minimal?

    Correction
    Nous reprenons le tableau de variation de la fonction ff.
    La fonction admet un minimum pour x=10x = 10, par conséquent le nombre d’emballages à fabriquerpour obtenir le coût minimal est 1000010000. Le minimum de la fonction est 650650. Il en résulte que le coût minimal s’élève à 650650 euros.