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Exercices types : 1ère partie - Exercice 3

25 min
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Un entrepreneur lance sur le marché de nouvelles coques haut de gamme pour les téléphones mobiles.
On admet que la fabrication est comprise entre 00 et 700700 unités. Les recettes et les coûts sont exprimés en milliers d’euros.
Le nombre de produits fabriqués ,est lui, exprimé en centaines d’unités.
On modélise :
  • la recette par la fonction RR définie sur [0;7]\left[0; 7\right] par R(x)=−2x3+4,5x2+62xR\left(x\right)=-2x^{3}+4,5x^{2}+62x
  • les coûts par la fonction CC définie sur [0;7]\left[0; 7\right] par C(x)=20x+10C\left(x\right)=20x+10
    • Question 1

    Calculer la recette et le coût pour 300300 produits fabriqués. En déduire le bénéfice correspondant.

    Correction
    300300 produits fabriqués correspondent ici à x=3x=3.
    Il vient alors que :
  • R(3)=−2×33+4,5×32+62×3R\left(3\right)=-2\times3^{3}+4,5\times3^{2}+62\times3 d'où
    R(3)=172,5R\left(3\right)=172,5
  • C(3)=20×+10C\left(3\right)=20\times+10 d'où
    C(3)=70C\left(3\right)=70
    • La recette correspondant à 300300 objets est de 172,5172,5 milliers d’euros et le coût est de 7070 milliers d’euros.
    • Bénéfice == Recette −- Coût de production
    Il en résulte donc que le bénéfice correspondant est donc de 172,5−70=102,5172,5-70=102,5 milliers d’euros.
    Question 2
    On note BB la fonction bénéfice.

    Donner l’expression de B(x)B\left(x\right) sur l’intervalle [0;7]\left[0; 7\right].

    Correction
    • Bénéfice == Recette −- Coût de production
    Ainsi :
    B(x)=R(x)−C(x)B\left(x\right)=R\left(x\right) -C\left(x\right) équivaut successivement à :
    B(x)=−2x3+4,5x2+62x−(20x+10)B\left(x\right)=-2x^{3}+4,5x^{2}+62x -\left(20x+10\right)
    B(x)=−2x3+4,5x2+62x−20x−10B\left(x\right)=-2x^{3}+4,5x^{2}+62x -20x-10
    B(x)=−2x3+4,5x2+42x−10B\left(x\right)=-2x^{3}+4,5x^{2}+42x-10
    Question 3

    Calculer B′B' où B′B' désigne la fonction dérivée de la fonction BB.

    Correction
    Nous savons que B(x)=−2x3+4,5x2+42x−10B\left(x\right)=-2x^{3}+4,5x^{2}+42x-10.
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée de x2{\color{blue}x^{2}} est 2x.{\color{blue}2x} .
  • La dérivée d'un nombre×x2{\color{blue}nombre\times x^{2}} est nombre×2x.{\color{blue}nombre\times2x} .
  • La dérivée d'un x3{\color{blue}x^{3}} est 3x2.{\color{blue}3x^{2}} .
  • La dérivée d'un nombre×x3{\color{blue}nombre\times x^{3}} est nombre×3x2.{\color{blue}nombre\times3x^{2}} .
    • B′(x)=−2×3x2+4,5×2x+42B'\left(x\right)=-2\times3x^{2}+4,5\times2x+42
    B′(x)=−6x2+9x+42B'\left(x\right)=-6x^{2}+9x+42
    Question 4

    Montrer que B′(x)B'\left(x\right) peut s'écrire sous la forme : B′(x)=−6(x−72)(x+2)B'(x)=-6\left(x-\frac{7}{2}\right)(x+2)

    Correction
    Nous voulons obtenir : B′(x)=−6(x−72)(x+2)B'(x)=-6\left(x-\frac{7}{2}\right)(x+2)
    Pour cela nous allons développer l'expression donnée −6(x−72)(x+2)-6\left(x-\frac{7}{2}\right)(x+2) .
    Il vient alors que :
    −6(x−72)(x+2)=−6(x×x+x×2−72×x−72×2)-6\left(x-\frac{7}{2}\right)(x+2)=-6\left(x\times x+x\times 2-\frac{7}{2}\times x-\frac{7}{2}\times 2\right)
    −6(x−72)(x+2)=−6(x2+2x−72x−7)-6\left(x-\frac{7}{2}\right)(x+2)=-6\left(x^2+2x-\frac{7}{2}x-7\right)
    −6(x−72)(x+2)=−6×x2−6×2x−6×(−72x)−6×(−7)-6\left(x-\frac{7}{2}\right)(x+2)=-6\times{x^{2}} -6\times{2x}-6\times\left(-\frac{7}{2}x\right)-6\times{(-7)}
    −6(x−72)(x+2)=−6x2−12x+21x+42-6\left(x-\frac{7}{2}\right)(x+2)=-6x^2-12x+21x+42
    −6(x−72)(x+2)=−6x2+9x+42-6\left(x-\frac{7}{2}\right)(x+2)=-6x^2+9x+42
    Ainsi :
    f′(x)=−6(x−72)(x+2)f'\left(x\right)=-6\left(x-\frac{7}{2}\right)\left(x+2\right)
    Question 5

    Étudier le signe de B′(x)B'\left(x\right). Donner le tableau de variation de BB.

    Correction
    • Si f′f' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si f′f' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    Pour étudier le signe de f′f', nous allons utiliser la forme −6(x−72)(x+2)-6\left(x-\frac{7}{2}\right)\left(x+2\right).
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
    • x−72=0⇔x=72x-\frac{7}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{7}{2}
    Soit x↦x−72x\mapsto x-\frac{7}{2} est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−72x-\frac{7}{2} par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=72x=\frac{7}{2} on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
    • x+2=0⇔x=−2x+2=0\Leftrightarrow x=-2
    Soit x↦x+2x\mapsto x+2 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+2x+2 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=−2x=-2 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Enfin, −6-6 est strictement négatif. On mettra que le signe (−)\left(-\right) dans la ligne de −6-6.
    Il vient alors que :
    Question 6

    Dresser le tableau de variation de BB sur l'intervalle [0;7]\left[0;7\right] .

    Correction
    • Si f′f' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si f′f' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    On en déduit le tableau de variation suivant :
  • B(0)=−2×03+4,5×02+42×0−10B\left(0\right)=-2\times0^{3}+4,5\times0^{2}+42\times0-10 d'où
    B(0)=−10B\left(0\right)=-10
  • B(72)=−2×(72)3+4,5×(72)2+42×(72)−10B\left(\frac{7}{2}\right)=-2\times\left(\frac{7}{2}\right)^{3}+4,5\times\left(\frac{7}{2}\right)^{2}+42\times\left(\frac{7}{2}\right)-10 d'où
    B(72)=106.375B\left(\frac{7}{2}\right)=106.375
  • B(7)=−2×73+4,5×72+42×7−10B\left(7\right)=-2\times7^{3}+4,5\times7^{2}+42\times7-10 d'où
    B(7)=−181.5B\left(7\right)=-181.5
    • Question 7

    En déduire la valeur du bénéfice maximal ainsi que le nombre de produits à fabriquer pour l’obtenir.

    Correction
    Nous avons déterminer à la question précédente le tableau de variation de BB.
    Le maximum est atteint pour x=72=3,5x=\frac{7}{2}=3,5 .
    Ainsi , le bénéfice est maximal pour 350350 objets fabriqués et vaut 106106 375375 euros.