Une entreprise, qui fabrique et vend des caméscopes numériques, modélise le bénéfice en euros pour x caméscopes fabriquées et vendus en une journée, à l'aide de la fonction f(x)=2x3−120x2+1800x−1000 . L'entreprise ne pouvant construire plus de 30 caméscopes par jour. On aura ainsi : x∈[0;30]
Question 1
Calculer le bénéfice pour 5 puis pour 10 caméscopes.
Correction
Il nous faut calculer f(5) et f(10).
f(5)=2×53−120×52+1800×5−1000 d'où
f(5)=5250
f(10)=2×103−120×102+1800×10−1000 d'où
f(10)=7000
Le bénéfice pour 5 caméscopes est de 5250 euros et pour 10 caméscopes de 7000 euros
Question 2
Calculer f′(x) où f′ désigne la fonction dérivée de f.
Correction
La dérivée d'un nombre est 0.
La dérivée d'un nombre×x est nombre.
La dérivée de x2 est 2x.
La dérivée d'un nombre×x2 est nombre×2x.
La dérivée d'un x3 est 3x2.
La dérivée d'un nombre×x3 est nombre×3x2.
f(x)=2x3−120x2+1800x−1000 f′(x)=2×3x2−120×2x+1800
f′(x)=6x2−240x+1800
Question 3
Montrer que l'on peut écrire f′ sous la forme f′(x)=6(x−10)(x−30) .
Correction
Il nous suffit de développer l'expression : f′(x)=6(x−10)(x−30) et montrer que cela nous donne bien f′(x)=6x2−240x+1800 Il vient alors que : f′(x)=6(x−10)(x−30) équivaut successivement à : 6(x−10)(x−30)=6(x×x+x×(−30)−10×x−10×(−30)) 6(x−10)(x−30)=6(x2−30x−10x+300) 6(x−10)(x−30)=6(x2−40x+300) 6(x−10)(x−30)=6×x2+6×(−40x)+6×300 6(x−10)(x−30)=6x2−240x+1800 Ainsi :
f′(x)=6(x−10)(x−30)
Question 4
Etudier le signe de f′ sur l'intervalle [0;30] .
Correction
Pour étudier le signe de f′, nous allons utiliser la forme 6(x−10)(x−30). Comme 6>0 alors le signe de f′ est du signe de (x−10)(x−30).
D’une part :
x−10=0⇔x=10 Soit x↦x−10 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−10 par le signe (−) et dès que l'on dépasse la valeur x=10 on mettra le signe (+) dans le tableau de signe.)
D’autre part :
x−30=0⇔x=30 Soit x↦x−30 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−30 par le signe (−) et dès que l'on dépasse la valeur x=30 on mettra le signe (+) dans le tableau de signe.) On en déduit le tableau de signe de f′ :
Question 5
Dresser le tableau de variation de f sur l'intervalle [0;30] .
Correction
Si f′ est négative sur [a;b] alors f est décroissante sur [a;b].
Si f′ est positive sur [a;b] alors f est croissante sur [a;b].
f(0)=2×03−120×02+1800×0−1000 d'où
f(0)=−1000
f(10)=2×103−120×102+1800×10−1000 d'où
f(10)=7000
f(30)=2×303−120×302+1800×30−1000 d'où
f(30)=−1000
Question 6
En déduire combien de caméscopes l'entreprise doit fabriquer et vendre chaque jour pour avoir un bénéfice maximal. Donner ce bénéfice.
Correction
Pour avoir un bénéfice maximal, l'entreprise doit fabriquer et vendre chaque jour 10 caméscopes. Le bénéfice sera de 7000 euros.
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