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Exercices types : 1ère partie - Exercice 2

20 min
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Une entreprise, qui fabrique et vend des caméscopes numériques, modélise le bénéfice en euros pour xx caméscopes fabriquées et vendus en une journée, à l'aide de la fonction f(x)=2x3−120x2+1800x−1000f\left(x\right)=2x^{3}-120x^{2}+1800x-1000 .
L'entreprise ne pouvant construire plus de 3030 caméscopes par jour. On aura ainsi : x∈[0;30]x\in \left[0;30\right]
Question 1

Calculer le bénéfice pour 55 puis pour 1010 caméscopes.

Correction
Il nous faut calculer f(5)f\left(5\right) et f(10)f\left(10\right).
  • f(5)=2×53−120×52+1800×5−1000f\left(5\right)=2\times 5^{3}-120\times 5^{2}+1800\times 5-1000 d'où
    f(5)=5250f\left(5\right)=5250
  • f(10)=2×103−120×102+1800×10−1000f\left(10\right)=2\times 10^{3}-120\times 10^{2}+1800\times 10-1000 d'où
    f(10)=7000f\left(10\right)=7000
    • Le bénéfice pour 55 caméscopes est de 52505250 euros et pour 1010 caméscopes de 70007000 euros
    Question 2

    Calculer f′(x)f'\left(x\right) où f′f' désigne la fonction dérivée de ff.

    Correction
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée de x2{\color{blue}x^{2}} est 2x.{\color{blue}2x} .
  • La dérivée d'un nombre×x2{\color{blue}nombre\times x^{2}} est nombre×2x.{\color{blue}nombre\times2x} .
  • La dérivée d'un x3{\color{blue}x^{3}} est 3x2.{\color{blue}3x^{2}} .
  • La dérivée d'un nombre×x3{\color{blue}nombre\times x^{3}} est nombre×3x2.{\color{blue}nombre\times3x^{2}} .
    • f(x)=2x3−120x2+1800x−1000f\left(x\right)=2x^{3}-120x^{2}+1800x-1000
    f′(x)=2×3x2−120×2x+1800f'\left(x\right)=2\times3x^{2}-120\times2x+1800
    f′(x)=6x2−240x+1800f'\left(x\right)=6x^{2}-240x+1800
    Question 3

    Montrer que l'on peut écrire f′f' sous la forme f′(x)=6(x−10)(x−30)f'\left(x\right)=6\left(x-10)(x-30\right) .

    Correction
    Il nous suffit de développer l'expression : f′(x)=6(x−10)(x−30)f'\left(x\right)=6\left(x-10)(x-30\right) et montrer que cela nous donne bien f′(x)=6x2−240x+1800f'(x)=6x^2-240x+1800
    Il vient alors que :
    f′(x)=6(x−10)(x−30)f'\left(x\right)=6\left(x-10)(x-30\right) équivaut successivement à :
    6(x−10)(x−30)=6(x×x+x×(−30)−10×x−10×(−30))6\left(x-10)(x-30\right)=6(x\times x+x\times (-30)-10\times x-10\times (-30))
    6(x−10)(x−30)=6(x2−30x−10x+300)6\left(x-10)(x-30\right)=6(x^{2} -30x-10x+300)
    6(x−10)(x−30)=6(x2−40x+300)6\left(x-10)(x-30\right)=6(x^{2} -40x+300)
    6(x−10)(x−30)=6×x2+6×(−40x)+6×3006\left(x-10)(x-30\right)=6\times{x^{2}} +6\times{(-40x)}+6\times{300}
    6(x−10)(x−30)=6x2−240x+18006\left(x-10)(x-30\right)=6x^2-240x+1800
    Ainsi :
    f′(x)=6(x−10)(x−30)f'\left(x\right)=6\left(x-10\right)\left(x-30\right)

    Question 4

    Etudier le signe de f′f' sur l'intervalle [0;30]\left[0;30\right] .

    Correction
    Pour étudier le signe de f′f', nous allons utiliser la forme 6(x−10)(x−30)6\left(x-10)(x-30\right).
    Comme 6>06>0 alors le signe de f′f' est du signe de (x−10)(x−30)(x-10)(x-30).
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
    • x−10=0⇔x=10x-10=0\Leftrightarrow x=10
    Soit x↦x−10x\mapsto x-10 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−10x-10 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=10x=10 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
    • x−30=0⇔x=30x-30=0\Leftrightarrow x=30
    Soit x↦x−30x\mapsto x-30 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−30x-30 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=30x=30 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    On en déduit le tableau de signe de f′f' :
    Question 5

    Dresser le tableau de variation de ff sur l'intervalle [0;30]\left[0;30\right] .

    Correction
    • Si f′f' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si f′f' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
  • f(0)=2×03−120×02+1800×0−1000f\left(0\right)=2\times 0^{3}-120\times 0^{2}+1800\times 0-1000 d'où
    f(0)=−1000f\left(0\right)=-1000
  • f(10)=2×103−120×102+1800×10−1000f\left(10\right)=2\times 10^{3}-120\times 10^{2}+1800\times 10-1000 d'où
    f(10)=7000f\left(10\right)=7000
  • f(30)=2×303−120×302+1800×30−1000f\left(30\right)=2\times 30^{3}-120\times 30^{2}+1800\times 30-1000 d'où
    f(30)=−1000f\left(30\right)=-1000
    • Question 6

    En déduire combien de caméscopes l'entreprise doit fabriquer et vendre chaque jour pour avoir un bénéfice maximal. Donner ce bénéfice.

    Correction
    Pour avoir un bénéfice maximal, l'entreprise doit fabriquer et vendre chaque jour 1010 caméscopes. Le bénéfice sera de 70007000 euros.

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