Qui aura 20 en maths ?

💯 Teste ton niveau de maths et tente de gagner un des lots !S'inscrire au jeu  →

Nouveau

🔥 Découvre nos fiches d'exercices gratuites avec corrections en vidéo !Accéder aux fiches  →

Dérivées des fonctions polynômes du troisième degré - Exercice 3

10 min
25
Question 1

Soit f(x)=2x3−48x2+288x+50f\left(x\right)=2x^{3}-48x^{2}+288x+50 . Vérifier que : f′(x)=6(x−4)(x−12)f'\left(x\right)=6\left(x-4\right)\left(x-12\right)

Correction
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée de x2{\color{blue}x^{2}} est 2x.{\color{blue}2x} .
  • La dérivée d'un nombre×x2{\color{blue}nombre\times x^{2}} est nombre×2x.{\color{blue}nombre\times2x} .
  • La dérivée d'un x3{\color{blue}x^{3}} est 3x2.{\color{blue}3x^{2}} .
  • La dérivée d'un nombre×x3{\color{blue}nombre\times x^{3}} est nombre×3x2.{\color{blue}nombre\times3x^{2}} .
    • f′(x)=2×3x2−48×2x+288f'\left(x\right)=2\times3x^{2}-48\times2x+288
    f′(x)=6x2−96x+288f'\left(x\right)=6x^{2}-96x+288
    Nous voulons obtenir : f′(x)=6(x−4)(x−12)f'\left(x\right)=6\left(x-4\right)\left(x-12\right)
    Pour cela nous allons développer l'expression donnée 6(x−4)(x−12)6\left(x-4\right)\left(x-12\right) .
    Il vient alors que :
    6(x−4)(x−12)=6(x×x+x×(−12)+(−4)×x+(−4)×(−12))6\left(x-4\right)\left(x-12\right)=6\left(x\times x+x\times \left(-12\right)+\left(-4\right)\times x+\left(-4\right)\times \left(-12\right)\right)
    6(x−4)(x−12)=6(x2−12x−4x+48)6\left(x-4\right)\left(x-12\right)=6\left(x^{2} -12x-4x+48\right)
    6(x−4)(x−12)=6(x2−16x+48)6\left(x-4\right)\left(x-12\right)=6\left(x^{2} -16x+48\right)
    6(x−4)(x−12)=6×x2−16x×6+48×66\left(x-4\right)\left(x-12\right)=6\times x^{2} -16x\times 6+48\times 6
    6(x−4)(x−12)=6x2−96x+2886\left(x-4\right)\left(x-12\right)=6x^{2} -96x+288
    Ainsi :
    f′(x)=6(x−4)(x−12)f'\left(x\right)=6\left(x-4\right)\left(x-12\right)