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Produit scalaire
Produit scalaire : définition avec le cosinus (définition géométrique) - Exercice 2
6 min
15
Question 1
On donne
∥
A
B
→
∥
=
1
\left\| \overrightarrow{AB} \right\|=1
∥
∥
A
B
∥
∥
=
1
et
∥
A
C
→
∥
=
3
\left\| \overrightarrow{AC} \right\|=3
∥
∥
A
C
∥
∥
=
3
et
(
A
B
→
,
A
C
→
)
=
π
4
\left(\overrightarrow{AB} ,\overrightarrow{AC} \right)=\frac{\pi}{4}
(
A
B
,
A
C
)
=
4
π
. Calculer
A
B
→
⋅
A
C
→
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}
A
B
⋅
A
C
Correction
Le produit scalaire de deux vecteurs
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
et
A
C
→
\overrightarrow{AC}
A
C
non nuls est défini par :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
∥
A
B
→
∥
×
∥
A
C
→
∥
×
cos
(
A
B
→
,
A
C
→
)
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\left\| \overrightarrow{AB} \right\| \times \left\| \overrightarrow{AC} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{AB} ,\overrightarrow{AC} \right)
A
B
⋅
A
C
=
∥
∥
A
B
∥
∥
×
∥
∥
A
C
∥
∥
×
cos
(
A
B
,
A
C
)
Nous pouvons également écrire :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
∥
A
B
→
∥
×
∥
A
C
→
∥
×
cos
(
B
A
C
^
)
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\left\| \overrightarrow{AB} \right\| \times \left\| \overrightarrow{AC} \right\| \times \cos \left(\widehat{BAC} \right)
A
B
⋅
A
C
=
∥
∥
A
B
∥
∥
×
∥
∥
A
C
∥
∥
×
cos
(
B
A
C
)
A
B
→
⋅
A
C
→
=
∥
A
B
→
∥
×
∥
A
C
→
∥
×
cos
(
A
B
→
,
A
C
→
)
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\left\| \overrightarrow{AB} \right\| \times \left\| \overrightarrow{AC} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{AB} ,\overrightarrow{AC} \right)
A
B
⋅
A
C
=
∥
∥
A
B
∥
∥
×
∥
∥
A
C
∥
∥
×
cos
(
A
B
,
A
C
)
A
B
→
⋅
A
C
→
=
1
×
3
×
cos
(
π
4
)
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=1\times 3\times \cos \left(\frac{\pi}{4} \right)
A
B
⋅
A
C
=
1
×
3
×
cos
(
4
π
)
\;\;
Or
cos
(
π
4
)
=
2
2
\cos \left(\frac{\pi}{4} \right)=\frac{\sqrt{2} }{2}
cos
(
4
π
)
=
2
2
, ce qui nous donne :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
1
×
3
×
2
2
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =1\times 3\times \frac{\sqrt{2} }{2}
A
B
⋅
A
C
=
1
×
3
×
2
2
Ainsi :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
3
×
2
2
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =3\times \frac{\sqrt{2} }{2}
A
B
⋅
A
C
=
3
×
2
2
qui s'écrit également
A
B
→
⋅
A
C
→
=
3
2
2
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{3\sqrt{2} }{2}
A
B
⋅
A
C
=
2
3
2
Question 2
On donne
∥
A
B
→
∥
=
7
\left\| \overrightarrow{AB} \right\|=7
∥
∥
A
B
∥
∥
=
7
et
∥
A
C
→
∥
=
8
\left\| \overrightarrow{AC} \right\|=8
∥
∥
A
C
∥
∥
=
8
et
(
B
A
C
^
)
=
π
2
\left(\widehat{BAC} \right)=\frac{\pi}{2}
(
B
A
C
)
=
2
π
. Calculer
A
B
→
⋅
A
C
→
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}
A
B
⋅
A
C
Correction
Le produit scalaire de deux vecteurs
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
et
A
C
→
\overrightarrow{AC}
A
C
non nuls est défini par :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
∥
A
B
→
∥
×
∥
A
C
→
∥
×
cos
(
A
B
→
,
A
C
→
)
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\left\| \overrightarrow{AB} \right\| \times \left\| \overrightarrow{AC} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{AB} ,\overrightarrow{AC} \right)
A
B
⋅
A
C
=
∥
∥
A
B
∥
∥
×
∥
∥
A
C
∥
∥
×
cos
(
A
B
,
A
C
)
Nous pouvons également écrire :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
∥
A
B
→
∥
×
∥
A
C
→
∥
×
cos
(
B
A
C
^
)
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\left\| \overrightarrow{AB} \right\| \times \left\| \overrightarrow{AC} \right\| \times \cos \left(\widehat{BAC} \right)
A
B
⋅
A
C
=
∥
∥
A
B
∥
∥
×
∥
∥
A
C
∥
∥
×
cos
(
B
A
C
)
A
B
→
⋅
A
C
→
=
∥
A
B
→
∥
×
∥
A
C
→
∥
×
cos
(
B
A
C
^
)
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\left\| \overrightarrow{AB} \right\| \times \left\| \overrightarrow{AC} \right\| \times \cos \left(\widehat{BAC} \right)
A
B
⋅
A
C
=
∥
∥
A
B
∥
∥
×
∥
∥
A
C
∥
∥
×
cos
(
B
A
C
)
A
B
→
⋅
A
C
→
=
7
×
8
×
cos
(
π
2
)
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=7\times 8\times \cos \left(\frac{\pi}{2} \right)
A
B
⋅
A
C
=
7
×
8
×
cos
(
2
π
)
\;\;
Or
cos
(
π
2
)
=
0
\cos \left(\frac{\pi}{2} \right)=0
cos
(
2
π
)
=
0
, ce qui nous donne :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
7
×
8
×
0
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =7\times 8\times 0
A
B
⋅
A
C
=
7
×
8
×
0
Ainsi :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
0
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =0
A
B
⋅
A
C
=
0
Si
A
B
→
⋅
A
C
→
=
0
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =0
A
B
⋅
A
C
=
0
alors les vecteurs
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
et
A
C
→
\overrightarrow{AC}
A
C
sont orthogonaux.
Question 3
On donne
∥
A
B
→
∥
=
5
\left\| \overrightarrow{AB} \right\|=5
∥
∥
A
B
∥
∥
=
5
et
∥
A
C
→
∥
=
6
\left\| \overrightarrow{AC} \right\|=6
∥
∥
A
C
∥
∥
=
6
et
(
B
A
C
^
)
=
4
5
∘
\left(\widehat{BAC} \right)=45^{\circ }
(
B
A
C
)
=
4
5
∘
. Calculer
A
B
→
⋅
A
C
→
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}
A
B
⋅
A
C
Correction
Le produit scalaire de deux vecteurs
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
et
A
C
→
\overrightarrow{AC}
A
C
non nuls est défini par :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
∥
A
B
→
∥
×
∥
A
C
→
∥
×
cos
(
A
B
→
,
A
C
→
)
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\left\| \overrightarrow{AB} \right\| \times \left\| \overrightarrow{AC} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{AB} ,\overrightarrow{AC} \right)
A
B
⋅
A
C
=
∥
∥
A
B
∥
∥
×
∥
∥
A
C
∥
∥
×
cos
(
A
B
,
A
C
)
Nous pouvons également écrire :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
∥
A
B
→
∥
×
∥
A
C
→
∥
×
cos
(
B
A
C
^
)
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\left\| \overrightarrow{AB} \right\| \times \left\| \overrightarrow{AC} \right\| \times \cos \left(\widehat{BAC} \right)
A
B
⋅
A
C
=
∥
∥
A
B
∥
∥
×
∥
∥
A
C
∥
∥
×
cos
(
B
A
C
)
A
B
→
⋅
A
C
→
=
∥
A
B
→
∥
×
∥
A
C
→
∥
×
cos
(
B
A
C
^
)
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\left\| \overrightarrow{AB} \right\| \times \left\| \overrightarrow{AC} \right\| \times \cos \left(\widehat{BAC} \right)
A
B
⋅
A
C
=
∥
∥
A
B
∥
∥
×
∥
∥
A
C
∥
∥
×
cos
(
B
A
C
)
A
B
→
⋅
A
C
→
=
5
×
6
×
cos
(
4
5
∘
)
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=5\times 6\times \cos \left(45^{\circ } \right)
A
B
⋅
A
C
=
5
×
6
×
cos
(
4
5
∘
)
\;\;
Or
cos
(
4
5
∘
)
=
2
2
\cos \left(45^{\circ } \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}
cos
(
4
5
∘
)
=
2
2
, ce qui nous donne :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
5
×
6
×
2
2
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =5\times 6\times \frac{\sqrt{2}}{2}
A
B
⋅
A
C
=
5
×
6
×
2
2
Ainsi :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
15
2
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =15\sqrt{2}
A
B
⋅
A
C
=
15
2