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Les nombres complexes
Déterminer la forme trigonométrique d'un nombre complexe - Exercice 2
5 min
10
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l
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COMPETENCES
:
C
a
l
c
u
l
er
Question 1
On donne une forme trigonométrique du nombre complexe
z
1
z_{1}
z
1
telle que :
z
1
=
2
(
cos
(
π
4
)
+
i
sin
(
π
4
)
)
z_{1} =2\left(\cos \left(\frac{\pi }{4} \right)+i\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\right)
z
1
=
2
(
cos
(
4
π
)
+
i
sin
(
4
π
)
)
.
Déterminer la forme algébrique de
z
1
z_{1}
z
1
.
Correction
z
1
=
2
(
cos
(
π
4
)
+
i
sin
(
π
4
)
)
z_{1} =2\left(\cos \left(\frac{\pi }{4} \right)+i\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\right)
z
1
=
2
(
cos
(
4
π
)
+
i
sin
(
4
π
)
)
équivaut successivement à :
z
1
=
2
(
2
2
+
i
2
2
)
z_{1} =2\left(\frac{\sqrt{2} }{2} +i\frac{\sqrt{2} }{2} \right)
z
1
=
2
(
2
2
+
i
2
2
)
z
1
=
2
×
2
2
+
2
×
i
2
2
z_{1} =2\times \frac{\sqrt{2} }{2} +2\times i\frac{\sqrt{2} }{2}
z
1
=
2
×
2
2
+
2
×
i
2
2
Ainsi :
z
1
=
2
+
i
2
z_{1} =\sqrt{2} +i\sqrt{2}
z
1
=
2
+
i
2
Question 2
On donne une forme trigonométrique du nombre complexe
z
2
z_{2}
z
2
telle que :
z
2
=
4
(
cos
(
−
π
6
)
+
i
sin
(
−
π
6
)
)
z_{2} =4\left(\cos \left(-\frac{\pi }{6} \right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{6} \right)\right)
z
2
=
4
(
cos
(
−
6
π
)
+
i
sin
(
−
6
π
)
)
.
Déterminer la forme algébrique de
z
2
z_{2}
z
2
.
Correction
z
2
=
4
(
cos
(
−
π
6
)
+
i
sin
(
−
π
6
)
)
z_{2} =4\left(\cos \left(-\frac{\pi }{6} \right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{6} \right)\right)
z
2
=
4
(
cos
(
−
6
π
)
+
i
sin
(
−
6
π
)
)
équivaut successivement à :
z
2
=
4
(
3
2
−
1
2
i
)
z_{2} =4\left(\frac{\sqrt{3} }{2} -\frac{1}{2} i\right)
z
2
=
4
(
2
3
−
2
1
i
)
z
2
=
4
×
3
2
+
4
×
(
−
1
2
i
)
z_{2} =4\times \frac{\sqrt{3} }{2} +4\times \left(-\frac{1}{2} i\right)
z
2
=
4
×
2
3
+
4
×
(
−
2
1
i
)
Ainsi :
z
2
=
2
3
−
2
i
z_{2} =2\sqrt{3} -2i
z
2
=
2
3
−
2
i
Question 3
On donne une forme trigonométrique du nombre complexe
z
3
z_{3}
z
3
telle que :
z
3
=
2
(
cos
(
−
3
π
4
)
+
i
sin
(
−
3
π
4
)
)
z_{3} =\sqrt{2} \left(\cos \left(-\frac{3\pi }{4} \right)+i\sin \left(-\frac{3\pi }{4} \right)\right)
z
3
=
2
(
cos
(
−
4
3
π
)
+
i
sin
(
−
4
3
π
)
)
.
Déterminer la forme algébrique de
z
3
z_{3}
z
3
.
Correction
z
3
=
2
(
−
2
2
−
2
2
i
)
z_{3} =\sqrt{2} \left(-\frac{\sqrt{2} }{2} -\frac{\sqrt{2} }{2} i\right)
z
3
=
2
(
−
2
2
−
2
2
i
)
z
3
=
2
×
(
−
2
2
)
+
2
×
(
−
2
2
i
)
z_{3} =\sqrt{2} \times \left(-\frac{\sqrt{2} }{2} \right)+\sqrt{2} \times \left(-\frac{\sqrt{2} }{2} i\right)
z
3
=
2
×
(
−
2
2
)
+
2
×
(
−
2
2
i
)
Ainsi :
z
3
=
−
1
−
i
z_{3} =-1-i
z
3
=
−
1
−
i