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Calculs algébriques : la somme et le produit de deux nombres complexes - Exercice 2

7 min
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Question 1
On considère les deux nombres complexes définis par z1=1+iz_{1} =1+i et z2=−2+3iz_{2} =-2+3i.
Calculez et donnez les résultats sous forme algébrique.

z1−2z2z_{1} -2z_{2}

Correction
z1−2z2=1+i−2(−2+3i)z_{1} -2z_{2} =1+i-2\left(-2+3i\right) équivaut successivement à :
z1−2z2=1+i+4−6iz_{1} -2z_{2} =1+i+4-6i
Ainsi :
z1−2z2=5−5iz_{1} -2z_{2} =5-5i
Question 2

z1z2z_{1} z_{2}

Correction
z1z2=(1+i)(−2+3i)z_{1} z_{2} =\left(1+i\right)\left(-2+3i\right) équivaut successivement à :
z1z2=−2+3i−2i+3i2z_{1} z_{2} =-2+3i-2i+3i^{2}
z1z2=−2+3i−2i−3z_{1} z_{2} =-2+3i-2i-3
Ainsi :
z1z2=−5+iz_{1} z_{2} =-5+i

Question 3

(z1)2+2(z2)2\left(z_{1} \right)^{2} +2\left(z_{2} \right)^{2}

Correction
(z1)2+2(z2)2=(1+i)2+2(−2+3i)2\left(z_{1} \right)^{2} +2\left(z_{2} \right)^{2} =\left(1+i\right)^{2} +2\left(-2+3i\right)^{2} équivaut successivement à :
(z1)2+2(z2)2=1+2i+i2+2(4−12i+9i2)\left(z_{1} \right)^{2} +2\left(z_{2} \right)^{2} =1+2i+i^{2} +2\left(4-12i+9i^{2} \right)
(z1)2+2(z2)2=1+2i−1+2(4−12i−9)\left(z_{1} \right)^{2} +2\left(z_{2} \right)^{2} =1+2i-1+2\left(4-12i-9\right)
(z1)2+2(z2)2=2i+2(−12i−5)\left(z_{1} \right)^{2} +2\left(z_{2} \right)^{2} =2i+2\left(-12i-5\right)
(z1)2+2(z2)2=2i−24i−10\left(z_{1} \right)^{2} +2\left(z_{2} \right)^{2} =2i-24i-10
Ainsi :
(z1)2+2(z2)2=−10−22i\left(z_{1} \right)^{2} +2\left(z_{2} \right)^{2} =-10-22i