Calculs algébriques : l'inverse et le quotient de deux nombres complexes - Exercice 3
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On considère les deux nombres complexes définis par z1=1+i et z2=−2+3i. Calculez et donnez les résultats sous forme algébrique.
Question 1
z2z1+z2
Correction
Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Soit z=x+iy et z=x−iy son conjugué, alors z×z=x2+y2
z2z1+z2=−2+3i1+i−2+3i z2z1+z2=−2+3i−1+4i z2z1+z2=(−2+3i)(−2−3i)(−1+4i)(−2−3i) z2z1+z2=(−2)2+322+3i−8i−12i2 z2z1+z2=(−2)2+322+3i−8i−12×(−1) z2z1+z2=(−2)2+322+3i−8i+12 Ainsi :
z2z1+z2=1314−135i
Question 2
z1+z2z1−2z2
Correction
Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Soit z=x+iy et z=x−iy son conjugué, alors z×z=x2+y2
z1+z2z1−2z2=1+i−2+3i1+i−2(−2+3i) z1+z2z1−2z2=−1+4i1+i+4−6i z1+z2z1−2z2=−1+4i5−5i z1+z2z1−2z2=(−1+4i)(−1−4i)(5−5i)(−1−4i) z1+z2z1−2z2=(−1)2+42−5−20i+5i+20i2 z1+z2z1−2z2=(−1)2+42−5−20i+5i+20×(−1) z1+z2z1−2z2=(−1)2+42−5−20i+5i−20 Ainsi :