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Déterminer l'axe de symétrie d'une fonction du second degré à partir de sa forme factorisée - Exercice 4

10 min
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Question 1
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=−2(x+3)(x+5)f\left(x\right)=-2\left(x+3\right)\left(x+5\right). On note C\mathscr{C} sa représentation graphique dans un repère orthonormé.

Déterminer les points d'intersection de la courbe C\mathscr{C} et de l'axe des abscisses.

Correction
Pour déterminer l’intersection de la courbe de ff avec l’axe des abscisses, il suffit de résoudre l’équation f(x)=0f\left(x\right)=0 .
Ainsi :
f(x)=−2(x+3)(x+5)f\left(x\right)=-2\left(x+3\right)\left(x+5\right). Il s'agit ici d'une équation produit nul.
Il faut donc résoudre : x+3=0x+3=0 ou\text{\red{ou}} x+5=0x+5=0
D’une part :\text{\blue{D'une part :}}
x+3=0x+3=0
x=−3x=-3
D’autre part :\text{\blue{D'autre part :}}
x+5=0x+5=0
x=−5x=-5
Les points cherchés ont pour coordonnées (−3;0)\left(-3;0\right) et (−5;0)\left(-5;0\right)
Question 2

Déterminer une équation de l'axe de symétrie de la parabole C\mathscr{C} .

Correction
  • La représentation graphique de la fonction x↦a(x−x1)(x−x2)x\mapsto a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right) où aa, x1x_1 et x2x_2 sont des constantes réelles avec a≠0a\ne 0 est une parabole ayant la droite x=x1+x22x=\frac{x_1+x_2}{2} comme axe de symétrie.
Nous avons f(x)=−2(x+3)(x+5)f\left(x\right)=-2\left(x+3\right)\left(x+5\right) . D'après le rappel, nous pouvons identifier que x1=−3x_1=-3 et x2=−5x_2=-5 .
L'axe de symétrie admet comme équation x=x1+x22x=\frac{x_1+x_2}{2}, il vient alors :
x=−3+(−5)2x=\frac{-3+\left(-5\right)}{2}
x=−4x=-4