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Variations des fonctions polynômes du troisième degré - Exercice 4

8 min
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Question 1
Soit ff la fonction définie par f(x)=−x3+12xf\left(x\right)= -x^{3} +12x sur l'intervalle [−5;6]\left[-5;6\right] .

Déterminer la dérivée de ff sur l'intervalle [−5;6]\left[-5;6\right], et montrer que f′(x)=−3(x−2)(x+2)f'\left(x\right)=-3\left(x-2\right)\left(x+2\right)

Correction
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée de x2{\color{blue}x^{2}} est 2x.{\color{blue}2x} .
  • La dérivée d'un nombre×x2{\color{blue}nombre\times x^{2}} est nombre×2x.{\color{blue}nombre\times2x} .
  • La dérivée d'un x3{\color{blue}x^{3}} est 3x2.{\color{blue}3x^{2}} .
  • La dérivée d'un nombre×x3{\color{blue}nombre\times x^{3}} est nombre×3x2.{\color{blue}nombre\times3x^{2}} .
    • f′(x)=−3x2+12f'\left(x\right)= -3x^{2} +12

    Nous voulons obtenir : f′(x)=−3(x−2)(x+2)f'\left(x\right)=-3\left(x-2\right)\left(x+2\right)
    Pour cela nous allons développer l'expression donnée −3(x−2)(x+2)-3\left(x-2\right)\left(x+2\right) .
    Il vient alors que :
    −3(x−2)(x+2)=−3(x×x+x×2−2×x−2×2)-3\left(x-2\right)\left(x+2\right)=-3(x\times x+x\times 2-2\times x-2\times {2})
    −3(x−2)(x+2)=−3(x2+2x−2x−4)-3\left(x-2\right)\left(x+2\right)=-3(x^{2} +2x-2x-4)
    −3(x−2)(x+2)=−3(x2−4)-3\left(x-2\right)\left(x+2\right)=-3(x^{2} -4)
    −3(x−2)(x+2)=−3×x2−3×(−4)-3\left(x-2\right)\left(x+2\right)=-3\times{x^{2}}-3\times{(-4)}
    −3(x−2)(x+2)=−3x2+12-3\left(x-2\right)\left(x+2\right)=-3x^2+12
    Ainsi :
    f′(x)=−3(x−2)(x+2)f'\left(x\right)=-3\left(x-2\right)\left(x+2\right)
    Question 2

    Dresser le tableau de signe de f′f' sur l'intervalle [−5;6]\left[-5;6\right]

    Correction
    Nous savons que : f′(x)=−3(x−2)(x+2)f'\left(x\right)=-3\left(x-2\right)\left(x+2\right) . Nous allons donc dresser le tableau de signe de f′f' qui nous donnera ensuite les variations de ff .
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
    • x−2=0⇔x=2x-2=0\Leftrightarrow x=2
    Soit x↦x−2x\mapsto x-2 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−2x-2 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=2x=2 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
    • x+2=0⇔x=−2x+2=0\Leftrightarrow x=-2
    Soit x↦x+2x\mapsto x+2 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+2x+2 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=−2x=-2 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Et enfin, le coefficient −3-3 est strictement négatif, c'est à dire que dans la ligne de −3-3 on ne mettra que le signe (−)\left(-\right) .
    Il vient alors que :
    Question 3

    Étudier les variations de la fonction ff sur l’intervalle [−5;6]\left[-5;6\right] .

    Correction
    • Si f′f' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si f′f' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    On en déduit le tableau de variation suivant :
  • f(−5)=−(−5)3+12×(−5)f\left(-5\right)= -\left(-5\right)^{3} +12\times\left(-5\right) d'où
    f(−5)=65f\left(-5\right)= 65
  • f(−2)=−(−2)3+12×(−2)f\left(-2\right)= -\left(-2\right)^{3} +12\times\left(-2\right) d'où
    f(−2)=−16f\left(-2\right)= -16
  • f(2)=−(2)3+12×2)f\left(2\right)= -\left(2\right)^{3} +12\times2) d'où
    f(2)=16f\left(2\right)= 16
  • f(6)=−(6)3+12×6)f\left(6\right)= -\left(6\right)^{3} +12\times6) d'où
    f(6)=−144f\left(6\right)= -144