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Comment étudier le signe d'un produit de la forme a(x−x1)(x−x2)(x−x3)a\left(x-x_{1} \right)\left(x-x_{2} \right)\left(x-x_{3} \right) - Exercice 3

10 min
20
Etablir le tableau de signe de chacune des fonctions produits suivantes :
Question 1

f(x)=9(x+9)(x+12)(x−4)f\left(x\right)=9\left(x+9\right)\left(x+12\right)\left(x-4\right) sur R\mathbb{R}

Correction
Pour étudier le signe d'un produit :
  • On étudie le signe de chaque facteur.
  • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
  • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • Premieˋrement :\red{\text{Premièrement :}}
    • x+9=0⇔x=−9x+9=0\Leftrightarrow x=-9
    Soit x↦x+9x\mapsto x+9 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+9x+9 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=−9x=-9 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • Deuxieˋmement :\red{\text{Deuxièmement :}}
    • x+12=0⇔x=−12x+12=0\Leftrightarrow x=-12
    Soit x↦x+12x\mapsto x+12 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+12x+12 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=−12x=-12 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • Troisieˋmement :\red{\text{Troisièmement :}}
    • x−4=0⇔x=4x-4=0\Leftrightarrow x=4
    Soit x↦x−4x\mapsto x-4 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−4x-4 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=4x=4 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} 99 est strictement positif. On mettra que le signe (+)\left(+\right) dans la ligne de 99.
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    Question 2

    f(x)=−3(x−6)(x−8)(x−15)f\left(x\right)=-3\left(x-6\right)\left(x-8\right)\left(x-15\right) sur R\mathbb{R}

    Correction
    Pour étudier le signe d'un produit :
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • Premieˋrement :\red{\text{Premièrement :}}
    • x−6=0⇔x=6x-6=0\Leftrightarrow x=6
    Soit x↦x−6x\mapsto x-6 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−6x-6 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=6x=6 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • Deuxieˋmement :\red{\text{Deuxièmement :}}
    • x−8=0⇔x=8x-8=0\Leftrightarrow x=8
    Soit x↦x−8x\mapsto x-8 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−8x-8 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=8x=8 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • Troisieˋmement :\red{\text{Troisièmement :}}
    • x−15=0⇔x=15x-15=0\Leftrightarrow x=15
    Soit x↦x−15x\mapsto x-15 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−15x-15 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=15x=15 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} −3-3 est strictement négatif. On mettra que le signe (−)\left(-\right) dans la ligne de −3-3.
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :