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Comment étudier le signe d'un produit de la forme a(x−x1)(x−x2)(x−x3)a\left(x-x_{1} \right)\left(x-x_{2} \right)\left(x-x_{3} \right) - Exercice 1

10 min
20
Etablir le tableau de signe de chacune des fonctions produits suivantes :
Question 1

f(x)=2(x+4)(x−5)(x−1)f\left(x\right)=2\left(x+4\right)\left(x-5\right)\left(x-1\right) sur R\mathbb{R}

Correction
Pour étudier le signe d'un produit :
  • On étudie le signe de chaque facteur.
  • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
  • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • Premieˋrement :\red{\text{Premièrement :}}
    • x+4=0⇔x=−4x+4=0\Leftrightarrow x=-4
    Soit x↦x+4x\mapsto x+4 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+4x+4 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=−4x=-4 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • Deuxieˋmement :\red{\text{Deuxièmement :}}
    • x−5=0⇔x=5x-5=0\Leftrightarrow x=5
    Soit x↦x−5x\mapsto x-5 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−5x-5 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=5x=5 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • Troisieˋmement :\red{\text{Troisièmement :}}
    • x−1=0⇔x=1x-1=0\Leftrightarrow x=1
    Soit x↦x−1x\mapsto x-1 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−1x-1 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=1x=1 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} 22 est strictement positif. On mettra que le signe (+)\left(+\right) dans la ligne de 22.
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    Question 2

    f(x)=−6(x−2)(x+3)(x+1)f\left(x\right)=-6\left(x-2\right)\left(x+3\right)\left(x+1\right) sur R\mathbb{R}

    Correction
    Pour étudier le signe d'un produit :
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • Premieˋrement :\red{\text{Premièrement :}}
    • x−2=0⇔x=2x-2=0\Leftrightarrow x=2
    Soit x↦x−2x\mapsto x-2 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−2x-2 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=2x=2 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • Deuxieˋmement :\red{\text{Deuxièmement :}}
    • x+3=0⇔x=−3x+3=0\Leftrightarrow x=-3
    Soit x↦x+3x\mapsto x+3 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+3x+3 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=−3x=-3 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • Troisieˋmement :\red{\text{Troisièmement :}}
    • x+1=0⇔x=−1x+1=0\Leftrightarrow x=-1
    Soit x↦x+1x\mapsto x+1 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+1x+1 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=−1x=-1 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} −6-6 est strictement négatif. On mettra que le signe (−)\left(-\right) dans la ligne de −6-6.
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :