Loi de probabilités - Exercice 1

Le gain du joueur est la somme reçue moins sa mise.
Ainsi, $$X$$ prendra les valeurs $$X=\left\{5;2;0;-1\right\}$$

On va commencer par calculer les probabilités des différents cas :
$$P\left(X=5\right)=\frac{1}{32}$$ (il n'y a qu'un seul as de cœur dans le jeu de $$32$$ cartes )
$$P\left(X=2\right)=\frac{3}{32}$$ (il y a quatre as dans le jeu de $$32$$ cartes , mais on ne recompte pas l'as de cœur)
$$P\left(X=0\right)=\frac{7}{32}$$ (il y a huit cœurs dans le jeu de $$32$$ cartes , mais on ne recompte pas l'as de cœur)
$$P\left(X=-1\right)=\frac{21}{32}$$ (ce sont toutes les cartes restantes )
On va traduire ces informations dans un tableau que l'on appellera loi de probabilité :

On sait que la loi de probabilité de $$X$$ est donnée par le tableau ci-dessous :
$$\red{\text{ Calcul de l'espérance :}}$$
$$E\left(X\right)=5\times \frac{1}{32} +2\times \frac{3}{32} +\ldots +\left(-1\right)\times \frac{21}{32}$$
Soit
Comme l'espérance est strictement négative, le jeu est défavorable au joueur.

$$\red{\text{ Calcul de la variance :}}$$
$$V\left(X\right)=\left(5-\left(-\frac{5}{16} \right)\right)^{2} \times \frac{1}{32} +\left(2-\left(-\frac{5}{16} \right)\right)^{2} \times \frac{3}{32} +\ldots +\left(-1-\left(-\frac{5}{16} \right)\right)^{2} \times \frac{21}{32}$$
Ainsi : c'est à dire $$V\left(X\right)\approx 1,71$$
$$\red{\text{ Calcul de l'écart type :}}$$
$$\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}$$ d'où $$\sigma \left(X\right)=\sqrt{\frac{439}{256}}$$
Finalement :