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Statistiques
Déterminer une moyenne, une variance et un écart type - Exercice 1
15 min
25
Après un contrôle, un professeur de mathématiques remplit le tableau donné ci-dessous.
Question 1
Calculer la moyenne de la classe.
Correction
La moyenne d'une série statistique est le réel, noté
x
‾
\overline{x}
x
, tel que :
x
‾
=
n
1
x
1
+
n
2
x
2
+
n
3
x
3
+
…
+
n
p
x
p
N
\overline{x}=\frac{n_{1} x_{1} +n_{2} x_{2} +n_{3} x_{3} +\ldots +n_{p} x_{p} }{N}
x
=
N
n
1
x
1
+
n
2
x
2
+
n
3
x
3
+
…
+
n
p
x
p
Il vient alors que :
x
‾
=
10
×
4
+
12
×
5
+
14
×
4
+
15
×
3
+
16
×
1
17
\overline{x}=\frac{10\times 4+12\times 5+14\times 4+15\times 3+16\times 1}{17}
x
=
17
10
×
4
+
12
×
5
+
14
×
4
+
15
×
3
+
16
×
1
x
‾
=
217
17
\overline{x}=\frac{217}{17}
x
=
17
217
x
‾
≈
12
,
76
\overline{x}\approx 12,76
x
≈
12
,
76
arrondi à
1
0
−
2
10^{-2}
1
0
−
2
près.
Question 2
Calculer la variance et l'écart type
Correction
La variance d'une série statistique est le réel, noté
V
V
V
, tel que :
V
=
n
1
(
x
1
−
x
‾
)
2
+
n
2
(
x
2
−
x
‾
)
2
+
n
3
(
x
3
−
x
‾
)
2
+
…
+
n
p
(
x
p
−
x
‾
)
2
N
V=\frac{n_{1} \left(x_{1} -\overline{x}\right)^{2} +n_{2} \left(x_{2} -\overline{x}\right)^{2} +n_{3} \left(x_{3} -\overline{x}\right)^{2} +\ldots +n_{p} \left(x_{p} -\overline{x}\right)^{2} }{N}
V
=
N
n
1
(
x
1
−
x
)
2
+
n
2
(
x
2
−
x
)
2
+
n
3
(
x
3
−
x
)
2
+
…
+
n
p
(
x
p
−
x
)
2
Il en résulte que :
V
=
4
×
(
10
−
217
17
)
2
+
5
×
(
12
−
217
17
)
2
+
4
×
(
14
−
217
17
)
2
+
3
×
(
15
−
217
17
)
2
+
1
×
(
16
−
217
17
)
2
17
V=\frac{4\times \left(10-\frac{217}{17} \right)^{2} +5\times \left(12-\frac{217}{17} \right)^{2} +4\times \left(14-\frac{217}{17} \right)^{2} +3\times \left(15-\frac{217}{17} \right)^{2} +1\times \left(16-\frac{217}{17} \right)^{2} }{17}
V
=
17
4
×
(
10
−
17
217
)
2
+
5
×
(
12
−
17
217
)
2
+
4
×
(
14
−
17
217
)
2
+
3
×
(
15
−
17
217
)
2
+
1
×
(
16
−
17
217
)
2
V
=
1106
289
V=\frac{1106}{289}
V
=
289
1106
V
≈
3
,
83
V\approx 3,83
V
≈
3
,
83
arrondi à
1
0
−
2
10^{-2}
1
0
−
2
près.
La racine carrée de la variance est l'écart type de cette série. On note
σ
\sigma
σ
l'écart type.
σ
=
V
\sigma =\sqrt{V}
σ
=
V
σ
=
1106
289
\sigma =\sqrt{\frac{1106}{289} }
σ
=
289
1106
σ
=
1
,
96
\sigma =1,96
σ
=
1
,
96
arrondi à
1
0
−
2
10^{-2}
1
0
−
2
près.