Somme et produit des racines - Exercice 1

Il nous faut remplacer tous les $$x$$ par $$7$$ et nous devons obtenir $$0$$ . Il vient que :
$$7^{2}-8\times 7+7=49-56+7=0$$
Donc $$7$$ est bien une racine de l'équation : $$x^{2}-8x+7=0$$

Nous avons : $$x^{2}-8x+7=0$$ ainsi $$a=1$$ ; $$b=-8$$ et $$c=7$$ .
Il vient alors que :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {S} & {=} & {-\left(\frac{-8}{1} \right)} \\ {P} & {=} & {\frac{7}{1} } \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {S} & {=} & {8 } \\ {P} & {=} & {7} \end{array}\right.$$

D'après la question $$1$$, nous avons montré que $$7$$ est une racine de notre trinôme. Nous allons donc poser par exemple $$x_{1}=7$$ .
D'après la question $$2$$, nous savons que :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {S=x_{1}+x_{2}} & {=} & {8 } \\ {P=x_{1}\times x_{2}} & {=} & {7} \end{array}\right.$$
$$\red{\text{Nous choisissons ici de déterminer l'autre racine avec la première ligne de notre système.}}$$
$$\red{\text{Nous aurions pu également utiliser la deuxième ligne également .}}$$
Il en résulte donc que :
$$x_{1}+x_{2}=8$$
$$7+x_{2}=8$$
$$x_{2}=8-7$$
$$x_{2}=1$$
La deuxième racine de l'équation $$x^{2}-8x+7=0$$ est alors $$x_{2}=1$$ .