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Exercices types : 33ème partie - Exercice 1

10 min
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Question 1

L'aire d'un rectangle est de 87,3687,36 m2^{2}. L'un des côtés mesure 22 mètres de plus que l'autre. Quels sont ses dimensions?

Correction
Nous avons reproduit ci-dessous un rectangle dont la largeur vaut xx mètres et la longueur vaut x+2x+2 mètres.
L'aire d'un rectangle est donnée par la formule suivante : longueur×largeur\text{longueur}\times \text{largeur}. Or , ici, nous savons que l'aire doit être égale à 87,3687,36 m2^{2}. Il en résulte donc que :
longueur×largeur=87,36\text{longueur}\times \text{largeur}=87,36 équivaut successivement à :
x(x+2)=87,36x\left(x+2\right)=87,36
x2+2x87,36=0x^{2} +2x-87,36=0. On reconnaît une équation trinôme du second degré.
Calcul du discriminant Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac
Ainsi : Δ=224×1×(87,36)\Delta =2^{2} -4\times 1\times \left(-87,36\right)
Δ=353,44\Delta =353,44
Comme Δ>0\Delta >0 alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées x1x{}_{1} et x2x{}_{2} telles que :
x1=bΔ2ax{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x1=2353,442×1x{}_{1} =\frac{-2-\sqrt{353,44} }{2\times 1} d'où x1=10,4x{}_{1} =-10,4
x2=b+Δ2ax{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x2=2+353,442×1x{}_{2} =\frac{-2+\sqrt{353,44} }{2\times 1} d'où x2=8,4x{}_{2} =8,4
Les racines de l'équation x2+2x87,36=0x^{2} +2x-87,36=0 sont donc :
S={10,4;8,4}S=\left\{-10,4 ;8,4 \right\}

Ici, rappelons que xx correspond à la largeur du rectangle. Dans ce cas, on rejette la valuer 10,4-10,4 car une distance ne peut pas être négative.
Dans ce cas, la largeur du rectangle sera de 8,48,4 m et la longueur du rectangle sera de 8,4+2=10,48,4+2=10,4 m.
Avec ces mesures, les dimensions 8,48,4 et 10,410,4, nous avons bien un rectangle dont l'aire vaut 87,3687,36 m2^{2}.