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Forme canonique et variation - Exercice 2

10 min
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Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=3x2+6x−7f\left(x\right)=3x^{2} +6x-7.
Question 1

Déterminer la forme canonique de la fonction polynôme du second degré ff .

Correction
Nous allons vous proposer deux meˊthodes\text{{\color{blue}{deux méthodes}}} pour répondre à cette question. A vous de choisir celle qui vous correspond le mieux .
PREMIERE METHODE :\red{\text{PREMIERE METHODE :}}
Toute fonction polynôme ff de degré 22 définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax2+bx+cf\left(x\right)=ax^{2}+bx+c avec a≠0a\ne0, peut s'écrire sous la forme :
  • f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta avec α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a} et β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
1\purple{\text{1}} eˋre\purple{\text{ère}} eˊtape :\purple{\text{étape :}} On définit les valeurs aa, bb et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=3a=3
  • b=b= nombre devant xx d'où b=6b=6
  • c=c= nombre seul d'où c=−7c=-7
2\purple{\text{2}} eˋme\purple{\text{ème}} eˊtape :\purple{\text{étape :}} Calcul de α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a}
Il vient alors que : α=−62×3\alpha =\frac{-6}{2\times3} d'où :
α=−1\alpha =-1

3\purple{\text{3}} eˋme\purple{\text{ème}} eˊtape :\purple{\text{étape :}} Calcul de β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
Il vient alors que :
β=f(−1)\beta =f\left(- 1\right)
β=3×(−1)2+6×(−1)−7\beta =3\times\left(- 1\right)^{2} +6\times \left(- 1\right)-7
β=3−6−7\beta =3-6-7
β=−10\beta =-10

Ainsi, pour tout réel xx, la forme canonique\pink{\text{forme canonique}} est
f(x)=3(x−(−1))2−10f\left(x\right)=3\left(x-\left(-1\right)\right)^{2} -10
, que l'on écrit f(x)=3(x+1)2−10f\left(x\right)=3\left(x+1\right)^{2} -10
DEUXIEME METHODE :\red{\text{DEUXIEME METHODE :}}
f(x)=3x2+6x−7f\left(x\right)=3x^{2} +6x-7
f(x)=3×[x2+2x−73]f\left(x\right)=3\times \left[x^{2} +2x-\frac{7}{3} \right]
f(x)=3×[(x+2×12)2−(2×12)2−73]f\left(x\right)=3\times \left[\left(x+2\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(2\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\frac{7}{3} \right]
f(x)=3×[(x+1)2−12−73]f\left(x\right)=3\times \left[\left(x+1\right)^{2} -1^{2} -\frac{7}{3} \right]
f(x)=3[(x+1)2−103]f\left(x\right)=3\left[\left(x+1\right)^{2} -\frac{10}{3} \right]
On va développer f(x)f\left(x\right), ce qui nous donne : f(x)=3(x+1)2−103×3f\left(x\right)=3\left(x+1\right)^{2} -\frac{10}{3} \times 3.
Enfin :
f(x)=3(x+1)2−10f\left(x\right)=3\left(x+1\right)^{2} -10

Question 2

En déduire le tableau de variation de ff.
Justifier.

Correction
La forme canonique\purple{\text{forme canonique}} d'une fonction polynôme du second degré est :
f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta où S(α;β)S\left(\alpha ;\beta \right) correspond au sommet de la parabole.
Si a>0\red{a>0} alors le tableau de variation de ff est :
Si a<0\red{a<0} alors le tableau de variation de ff est :
A l'aide de la forme canonique, on détermine facilement le sommet de la parabole.
Or : f(x)=3(x+1)2−10f\left(x\right)=3\left(x+1\right)^{2} -10
On note S(α;β)S\left(\alpha ;\beta \right) le sommet de la parabole.
Ici, nous avons a=3a=3, α=−1\alpha =-1 et β=−10\beta=-10.
a>0a>0, la parabole est tournée vers le haut et S(−1;−10)S\left(-1;-10\right) est le sommet de la parabole (plus précisément un minimum).
Le tableau de variation est alors :