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Second degré (partie 1) : forme canonique, forme factorisée (sans la notion de discriminant)

Déterminer l'axe de symétrie d’une parabole. - Exercice 1

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Question 1

Soit ff une fonction polynôme du second degré définie sur R\mathbb{R} tel que f(x)=4(x+2)2−6f\left(x\right)=4\left(x+2\right)^{2}-6.
La parabole admet pour axe de symétrie la droite d’équation x=⋯x=\cdots

Correction
La forme canonique\purple{\text{forme canonique}} d'une fonction polynôme du second degré est :
f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta où S(α;β)S\left(\alpha ;\beta \right) correspond au sommet de la parabole. De plus, la parabole admet pour axe de symétrie la droite d’équation
x=αx=\alpha
.
Soit f(x)=4(x+2)2−6f\left(x\right)=4\left(x+2\right)^{2}-6 que nous pouvons écrire sous la forme f(x)=4(x−(−2))2−6f\left(x\right)=4\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}-6
Le point de coordonnées S(−2;−6)S\left(-2;-6\right) correspond au sommet S(α;β)S\left(\alpha ;\beta \right) de la parabole. Il en résulte donc que : α=−2\alpha=-2 et β=−6\beta=-6.
La parabole admet donc pour axe de symétrie la droite d’équation
x=−2x=-2
.
Question 2

Soit ff une fonction polynôme du second degré définie sur R\mathbb{R} tel que f(x)=2(x−3)2+1f\left(x\right)=2\left(x-3\right)^{2}+1.
La parabole admet pour axe de symétrie la droite d’équation x=⋯x=\cdots

Correction
La forme canonique\purple{\text{forme canonique}} d'une fonction polynôme du second degré est :
f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta où S(α;β)S\left(\alpha ;\beta \right) correspond au sommet de la parabole. De plus, la parabole admet pour axe de symétrie la droite d’équation
x=αx=\alpha
.
Soit f(x)=2(x−3)2+1f\left(x\right)=2\left(x-3\right)^{2}+1 .
Le point de coordonnées S(3;1)S\left(3;1\right) correspond au sommet S(α;β)S\left(\alpha ;\beta \right) de la parabole. Il en résulte donc que : α=3\alpha=3 et β=1\beta=1.
La parabole admet donc pour axe de symétrie la droite d’équation
x=3x=3
.