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Théorème de la médiane - Exercice 1

10 min

Question 1

Soit un triangle $ABC$ . Soit $I$ le milieu du segment $\left[BC\right]$ .
Démontrer que : $AB^{2} +AC^{2} =2AI^{2} +\frac{BC^{2} }{2}$

Correction

Dans un triangle quelconque $ABC$ , on appelle $I$ le milieu du segment $\left[BC\right]$ , on a alors :
$AB^{2} +AC^{2} =2AI^{2} +\frac{BC^{2} }{2}$

AB^{2} +AC^{2} =\left(\overrightarrow{AI} +\overrightarrow{IB} \right)^{2} +\left(\overrightarrow{AI} +\overrightarrow{IC} \right)^{2}

AB^{2} +AC^{2} =AI^{2} +2\times \overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{IB}+IB^{2} +AI^{2} +2\times \overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{IC}+IC^{2}

AB^{2} +AC^{2} =2AI^{2} +2\times \overrightarrow{AI}\cdot \left(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\right)+IB^{2} +IC^{2}

Comme

I

milieu de

\left[BC\right]

, on a :

\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}

IB=IC=\frac{BC}{2}

AB^{2} +AC^{2} =2AI^{2} +2\times AI\cdot \left(\overrightarrow{0}\right)+\left(\frac{BC}{2} \right)^{2} +\left(\frac{BC}{2} \right)^{2}

AB^{2} +AC^{2} =2AI^{2} +\frac{BC^{2} }{4} +\frac{BC^{2} }{4}

Ainsi :

AB^{2} +AC^{2} =2AI^{2} +\frac{BC^{2} }{2}

Question 2

Correction

AB^{2} +AC^{2} =2AI^{2} +\frac{BC^{2} }{2}

équivaut successivement à :

4^{2} +7^{2} =2AI^{2} +\frac{9^{2} }{2}

16+49=2AI^{2} +\frac{81}{2}

65=2AI^{2} +\frac{81}{2}

65-\frac{81}{2} =2AI^{2}

\frac{49}{2} =2AI^{2}

AI^{2} =\frac{49}{4}

AI=\sqrt{\frac{49}{4} }

AI=\frac{7}{2}