Produit scalaire : définition analytique - Exercice 3
5 min
10
Dans un repère orthonormé (O;i;j) , on donne : A(4;1) , B(0;5) et C(−2;−1)
Question 1
Calculer : AB⋅AC
Correction
Dans un repère orthonormé (O;i;j) , le produit scalaire de deux vecteurs u et v de coordonnées respectives (x;y) et (x′;y′) est égal à :
u⋅v=xx′+yy′
Commençons par calculer les vecteurs AB et AC AB(−4;4) et AC(−6;−2). Il en résulte que : AB⋅AC=(−4)×(−6)+4×(−2)
AB⋅AC=16
Question 2
En déduire que cos(BAC)=51 et donner une mesure , à un degré près, de BAC.
Correction
Le produit scalaire de deux vecteurs u et v non nuls est défini par :
u⋅v=∥∥u∥∥×∥∥v∥∥×cos(u,v)
Nous allons commencer par donner les normes des vecteurs AB et AC. D'une part : ∥∥AB∥∥=(−4)2+42 ∥∥AB∥∥=42 D'autre part : ∥∥AC∥∥=(−6)2+(−2)2 ∥∥AC∥∥=210
Nous appliquons la formule du produit scalaire AB⋅AC=∥∥AB∥∥×∥∥AC∥∥×cos(BAC) AB⋅AC=42×210×cos(BAC) AB⋅AC=165×cos(BAC) Or : AB⋅AC=16 d'après la question 1. Il en résulte que : 16=165×cos(BAC) Ainsi , on a bien :
cos(BAC)=51
Maintenant, à l'aide de la calculatrice, on obtient : BAC=63 degrés, au degrés près.