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Produit scalaire
Produit scalaire : définition analytique - Exercice 2
2 min
5
Question 1
Dans un repère orthonormé
(
O
;
i
→
;
j
→
)
\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j}\right)
(
O
;
i
;
j
)
, on a :
A
(
1
;
2
)
A\left(1;2\right)
A
(
1
;
2
)
,
B
(
−
2
;
3
)
B\left(-2;3\right)
B
(
−
2
;
3
)
et
C
(
0
;
5
)
C\left(0;5\right)
C
(
0
;
5
)
Calculer :
A
B
→
⋅
A
C
→
\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC}
A
B
⋅
A
C
Correction
Dans un repère orthonormé
(
O
;
i
→
;
j
→
)
\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j}\right)
(
O
;
i
;
j
)
, le produit scalaire de deux vecteurs
u
→
\overrightarrow{u}
u
et
v
→
\overrightarrow{v}
v
de coordonnées respectives
(
x
;
y
)
\left(x;y\right)
(
x
;
y
)
et
(
x
′
;
y
′
)
\left(x';y'\right)
(
x
′
;
y
′
)
est égal à :
u
→
⋅
v
→
=
x
x
′
+
y
y
′
\overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{v}=xx'+yy'
u
⋅
v
=
x
x
′
+
y
y
′
Commençons par calculer les vecteurs
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
et
A
C
→
\overrightarrow{AC}
A
C
A
B
→
(
−
3
;
1
)
\overrightarrow{AB}\left(-3;1\right)
A
B
(
−
3
;
1
)
et
A
C
→
(
−
1
;
3
)
\overrightarrow{AC}\left(-1;3\right)
A
C
(
−
1
;
3
)
.
Il en résulte que :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
(
−
3
)
×
(
−
1
)
+
1
×
3
\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC}=\left(-3\right)\times\left(-1\right) + 1\times 3
A
B
⋅
A
C
=
(
−
3
)
×
(
−
1
)
+
1
×
3
A
B
→
⋅
A
C
→
=
6
\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} =6
A
B
⋅
A
C
=
6