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Vérifier si deux évènements sont indépendants - Exercice 1

6 min
10
COMPETENCES‾  :  1°)  Calculer  {\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Calculer\;} 2°)  Raisonner{\color{red}2°)\;Raisonner}
Dans chacun des cas suivants, déterminer si les évènements AA et BB sont indépendants.
Question 1

p(A)=12p\left(A\right)=\frac{1}{2}, p(B)=13p\left(B\right)=\frac{1}{3} et p(A∩B)=16p\left(A\cap B\right)=\frac{1}{6}

Correction
    Deux événements AA et BB sont indépendants si et seulement si :
  • P(A∩B)=P(A)×P(B)P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right) \times P\left(B\right)
Nous allons donc calculer P(A)×P(B)P\left(A\right) \times P\left(B\right) .
Il vient que :
P(A)×P(B)=12×13P\left(A\right) \times P\left(B\right)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}
P(A)×P(B)=16P\left(A\right) \times P\left(B\right)=\frac{1}{6}
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
P(A∩B)=P(A)×P(B)P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right) \times P\left(B\right)
Les évènements AA et BB sont bien indeˊpendants\text{\red{indépendants}}.
Question 2

p(A)=0,2p\left(A\right)=0,2 et p(B)=0,4p\left(B\right)=0,4 et p(A∩B)=0,8p\left(A\cap B\right)=0,8

Correction
    Deux événements AA et BB sont indépendants si et seulement si :
  • P(A∩B)=P(A)×P(B)P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right) \times P\left(B\right)
Nous allons donc calculer P(A)×P(B)P\left(A\right) \times P\left(B\right) .
Il vient que :
P(A)×P(B)=0,2×0,4P\left(A\right) \times P\left(B\right)=0,2 \times 0,4
P(A)×P(B)=0,08P\left(A\right) \times P\left(B\right)=0,08
Finalement :
P(A∩B)≠P(A)×P(B)P\left(A\cap B\right)\ne P\left(A\right) \times P\left(B\right)
Les évènements AA et BB ne sont pas indeˊpendants\text{\red{ne sont pas indépendants}}.
Question 3

p(A)=57p\left(A\right)=\frac{5}{7}, p(B)=78p\left(B\right)=\frac{7}{8} et p(A∩B)=58p\left(A\cap B\right)=\frac{5}{8}

Correction
    Deux événements AA et BB sont indépendants si et seulement si :
  • P(A∩B)=P(A)×P(B)P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right) \times P\left(B\right)
Nous allons donc calculer P(A)×P(B)P\left(A\right) \times P\left(B\right) .
Il vient que :
P(A)×P(B)=57×78P\left(A\right) \times P\left(B\right)=\frac{5}{7} \times \frac{7}{8}
P(A)×P(B)=58P\left(A\right) \times P\left(B\right)=\frac{5}{8}
Finalement :
P(A∩B)=P(A)×P(B)P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right) \times P\left(B\right)
Les évènements AA et BB sont bien indeˊpendants\text{\red{indépendants}}.