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Arbres pondérés et formule des probabilités totales : pour se perfectionner - Exercice 2

8 min

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Question 1

Soit l'arbre pondéré suivant :

Soient $A$ et $B$ , tels que $P\left(A\right)=0,6$ et $P_{A} \left(B\right)=\frac{1}{2}$ et $P_{\overline{A}} \left(\overline{B}\right)=\frac{1}{3}$
Calculez $P\left(B\right)$ ?

Correction

On remplit l'arbre pondéré grâce aux informations données par l'énoncé.
En noirs les valeurs de l'énoncé et en rouge les valeurs que l'on déduit.

A

\overline{A}

forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales on a :

P\left(B\right)=P\left(A\cap B\right)+P\left(\overline{A}\cap B\right)

P\left(B\right)=P\left(A\right)\times P_{A} \left(B\right)+P\left(\overline{A}\right)\times P_{\overline{A}} \left(B\right)

Soit :

P\left(B\right)=0,6\times \frac{1}{2} +0,4\times \frac{2}{3}

Ainsi :

P\left(B\right)=\frac{17}{30}