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Arbres pondérés et formule des probabilités totales : pour se perfectionner - Exercice 2

8 min
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COMPETENCES  :  1°)  Calculer  {\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Calculer\;}
Question 1
Soit l'arbre pondéré suivant :

Soient AA et BB, tels que P(A)=0,6P\left(A\right)=0,6 et PA(B)=12P_{A} \left(B\right)=\frac{1}{2} et PA(B)=13P_{\overline{A}} \left(\overline{B}\right)=\frac{1}{3}
Calculez P(B)P\left(B\right) ?

Correction
On remplit l'arbre pondéré grâce aux informations données par l'énoncé.
En noirs les valeurs de l'énoncé et en rouge les valeurs que l'on déduit.
AA et A\overline{A} forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales on a :
P(B)=P(AB)+P(AB)P\left(B\right)=P\left(A\cap B\right)+P\left(\overline{A}\cap B\right)
P(B)=P(A)×PA(B)+P(A)×PA(B)P\left(B\right)=P\left(A\right)\times P_{A} \left(B\right)+P\left(\overline{A}\right)\times P_{\overline{A}} \left(B\right)
Soit : P(B)=0,6×12+0,4×23P\left(B\right)=0,6\times \frac{1}{2} +0,4\times \frac{2}{3}
Ainsi :
P(B)=1730P\left(B\right)=\frac{17}{30}