Vecteurs colinéaires - Exercice 4

Les vecteurs $$\overrightarrow{u}$$ et $$\overrightarrow{v}$$ sont colinéaires si et seulement si :
$$\left(x+1\right)\left(x-1\right)-4\left(x-1\right)=0$$
$$x^{2}-x+x-1-4x+4=0$$
$$x^{2}-4x+3=0$$. On reconnaît ici une équation du second degré, nous résolverons donc cette équation à l'aide du discriminant.
Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi : $$\Delta =\left(-4\right)^{2} -4\times 1\times 3$$
$$\Delta =16-12=4$$
Comme $$\Delta >0$$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$ telles que :
$$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{1} =\frac{-\left(-4\right)-\sqrt{4} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{1} =1$$
$$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{2} =\frac{-\left(-4\right)+\sqrt{4} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{2} =3$$
Les racines de l'équation $$x^{2} -4x+3=0$$ sont donc : $$S=\left\{1;3\right\}$$
Ainsi, les vecteurs $$\overrightarrow{u}$$ et $$\overrightarrow{v}$$ sont colinéaires si et seulement si $$x=1$$ ou si $$x=3$$.