Vecteur normal et équation de droite - Exercice 2

$$\overrightarrow{n} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \end{array}\right)$$ étant un vecteur normal de $$\left(d_{1} \right)$$, on en déduit que : $$a=-1$$ et $$b=2$$.
Ainsi , on a : $$-x+2y+c=0$$.
Or le point $$A\left(3;4\right)$$ appartient à la droite $$\left(d_{1} \right)$$, donc les coordonnées du point $$A\left(3;4\right)$$ vérifie $$-x+2y+c=0$$.
Il vient alors que :
$$-x_{A} +2y_{A} +c=0$$
$$-3+2\times 4+c=0$$
$$-3+8+c=0$$
$$5+c=0$$
$$c=-5$$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $$\left(d_{1} \right)$$ admettant $$\overrightarrow{n} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \end{array}\right)$$ comme vecteur normal et passant par le point $$A\left(3;4\right)$$ est : $$-x+2y-5=0$$.

$$\overrightarrow{n} \left(\begin{array}{c} {4} \\ {-2} \end{array}\right)$$ étant un vecteur normal de $$\left(d_{2} \right)$$, on en déduit que : $$a=4$$ et $$b=-2$$.
Ainsi , on a : $$4x-2y+c=0$$.
Or le point $$A\left(-2;0\right)$$ appartient à la droite $$\left(d_{2} \right)$$, donc les coordonnées du point $$A\left(-2;0\right)$$ vérifie $$4x-2y+c=0$$.
Il vient alors que :
$$4x_{A} -2y_{A} +c=0$$
$$4\times\left(-2\right)-2\times 0+c=0$$
$$-8+c=0$$
$$c=8$$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $$\left(d_{2} \right)$$ admettant $$\overrightarrow{n} \left(\begin{array}{c} {4} \\ {-2} \end{array}\right)$$ comme vecteur normal et passant par le point $$A\left(-2;0\right)$$ est : $$4x-2y+8=0$$.

$$\overrightarrow{n} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \end{array}\right)$$ étant un vecteur normal de $$\left(d_{3} \right)$$, on en déduit que : $$a=1$$ et $$b=1$$.
Ainsi , on a : $$x+y+c=0$$.
Or le point $$A\left(6;7\right)$$ appartient à la droite $$\left(d_{3} \right)$$, donc les coordonnées du point $$A\left(6;7\right)$$ vérifie $$x+y+c=0$$.
Il vient alors que :
$$x_{A} +y_{A} +c=0$$
$$6+7+c=0$$
$$13+c=0$$
$$c=-13$$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $$\left(d_{3} \right)$$ admettant $$\overrightarrow{n} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \end{array}\right)$$ comme vecteur normal et passant par le point $$A\left(6;7\right)$$ est : $$x+y-13=0$$.